東北大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

(1) $$A\vec{p}=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3+t\\ 2+4t\end{array}\right)$$である。問題の表し方 $$A\vec{p}=\left(\begin{array}{c}x\\ sx\end{array}\right)$$ と比べると，$t>0$ より $x=3+t>0$ であり，$$s={\displaystyle \frac{2+4t}{3+t}}$$ である。したがって $$s-2={\displaystyle \frac{2+4t-2(3+t)}{3+t}}={\displaystyle \frac{2t-4}{3+t}}={\displaystyle \frac{2(t-2)}{3+t}}$$ となる。よって $$\mathrm{\mid }s-2\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{2\mathrm{\mid }t-2\mathrm{\mid }}{3+t}}$$ である。$t>0$ なので $3+t>3$ であり，$${\displaystyle \frac{2}{3+t}}\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}$$ だから $$\mathrm{\mid }s-2\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{\mid }t-2\mathrm{\mid }$$ が成り立つ。

(2) まず$$A\vec{a}=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 10\end{array}\right)=5\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=5\vec{a}$$である。したがって $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }A\vec{a}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }}}=5$$ である。求める条件は ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }A\vec{p}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\vec{p}\mathrm{\mid }}}\leqq 5$ であり，両辺は正なので2乗してよい。すなわち ${\displaystyle \frac{(3+t{)}^2+(2+4t{)}^2}{1+t^2}}\leqq 25$ である。分母 $1+t^2$ は正だから，両辺に掛けて整理する。 $(3+t{)}^2+(2+4t{)}^2\leqq 25(1+t^2)$ $t^2+6t+9+16t^2+16t+4\leqq 25+25t^2$ $$0\leqq 8t^2-22t+12=2(4t-3)(t-2)$$ である。したがって $(4t-3)(t-2)\geqq 0$ となる。$t>0$ と合わせると $$0<t\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}},2\leqq t$$ である。

長さの不等式を二次形式として整理する。右辺の基準ベクトルが $A$ により5倍されることを使い、差 $25\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }A\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2$ を直接因数分解する。

(1) $$A\vec{p}=(3+t,2+4t)$$なので$$s={\displaystyle \frac{2+4t}{3+t}},s-2={\displaystyle \frac{2(t-2)}{3+t}}\mathrm{.}$$$t>0$ より $3+t\geqq 3$ だから$$\mathrm{\mid }s-2\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{2}{3+t}}\mathrm{\mid }t-2\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{\mid }t-2\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$(2)$$A\vec{a}=(5,10)=5\vec{a}$$より$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }A\vec{a}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }}}=5.$$そこで両辺を2乗し、右辺から左辺を引くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 25\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }A\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =25(1+t^2)-\{(3+t{)}^2+(2+4t{)}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(4t-3)(t-2)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める条件は$$(4t-3)(t-2)\geqq 0.$$$t>0$ と合わせて$$0<t\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}\text{または}t\geqq 2$$である。