東北大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

集合 $T$ は、集合 $S$ の $r$ 個の元と、それ以外の $n$ 個の元からなる。$T$ から $r+k$ 個を選ぶ方法は全部で ${}_{r+n}{\mathrm{C}}_{r+k}$ 通りである。

その中に $S$ の元がすべて含まれるためには、まず $S$ の $r$ 個はすべて選ばれ、残り $k$ 個を $T\setminus S$ の $n$ 個から選べばよい。したがって条件を満たす選び方は ${}_n{\mathrm{C}}_k$ 通りである。よって $$a_n={\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_k}{{}_{r+n}{\mathrm{C}}_{r+k}}}$$ である。階乗で書けば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}}{{\displaystyle \frac{(r+n)!}{(r+k)!(n-k)!}}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n!(r+k)!}{k!(r+n)!}}}\end{array}$$である。

(2) $r\geqq 2$ とする。まず$${\displaystyle \frac{n!}{(n+r)!}}={\displaystyle \frac{1}{r-1}}\{{\displaystyle \frac{n!}{(n+r-1)!}}-{\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n+r)!}}\}$$が成り立つ。実際、右辺の中括弧は$${\displaystyle \frac{n!}{(n+r-1)!}}-{\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n+r)!}}={\displaystyle \frac{n!(n+r)-n!(n+1)}{(n+r)!}}={\displaystyle \frac{(r-1)n!}{(n+r)!}}$$である。

まず $k\geqq 1$ の場合を考える。$n<k$ では ${}_n{\mathrm{C}}_k=0$ と見ればよいので、和は $n=k$ から始まる。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(r+k)!}{k!}}\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{n!}{(n+r)!}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(r+k)!}{k!}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{r-1}}\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}\{{\displaystyle \frac{n!}{(n+r-1)!}}-{\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n+r)!}}\}}\end{array}$$である。これは望遠和になり、後ろの端は0に近づくので$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n={\displaystyle \frac{(r+k)!}{k!}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{r-1}}\cdot {\displaystyle \frac{k!}{(k+r-1)!}}={\displaystyle \frac{r+k}{r-1}}$$である。

次に $k=0$ の場合は $$a_n={\displaystyle \frac{r!n!}{(r+n)!}}$$ であり、問題の和は $n=1$ から始まる。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}& {\displaystyle =r!\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{n!}{(n+r)!}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =r!\cdot {\displaystyle \frac{1}{r-1}}\cdot {\displaystyle \frac{1!}{r!}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{r-1}}}\end{array}$$である。

したがって$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{r-1}}& (k=0),\\ {\displaystyle \frac{r+k}{r-1}}& (k\geqq 1)\end{array}$$である。

(1) の確率を階乗で表した後、${\displaystyle \frac{n!}{(n+r)!}}$ を$${\int }_0^1{x}^n(1-x{)}^{r-1}dx$$で表す。無限和と積分を交換して等比級数を先に足し、最後の有限積分を部分積分で評価する。

(1)

$S$ の $r$ 個を必ず選び、残る $n$ 個から $k$ 個を選ぶので$$a_n={\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_k}{{}_{r+n}{\mathrm{C}}_{r+k}}}={\displaystyle \frac{n!(r+k)!}{k!(r+n)!}}\mathrm{.}$$(2)

部分積分を $r-1$ 回行うと$${\int }_0^1{x}^n(1-x{)}^{r-1}dx={\displaystyle \frac{n!(r-1)!}{(n+r)!}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{n!}{(n+r)!}}={\displaystyle \frac{1}{(r-1)!}}{\int }_0^1{x}^n(1-x{)}^{r-1}dx\mathrm{.}$$$k\geqq 1$ のとき $a_n=0(n<k)$ と考え、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(r+k)!}{k!(r-1)!}}{\int }_0^1(1-x{)}^{r-1}\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}{x}^{n}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(r+k)!}{k!(r-1)!}}{\int }_0^1{x}^k(1-x{)}^{r-2}dx\mathrm{.}}\end{array}$$最後の積分を部分積分で評価すると$${\int }_0^1{x}^k(1-x{)}^{r-2}dx={\displaystyle \frac{k!(r-2)!}{(k+r-1)!}}\mathrm{.}$$よって$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n={\displaystyle \frac{r+k}{r-1}}(k\geqq 1)\mathrm{.}$$$k=0$ では和が $n=1$ から始まるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{r!}{(r-1)!}}{\int }_0^1(1-x{)}^{r-1}{\displaystyle \frac{x}{1-x}}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =r{\int }_0^{1}x(1-x{)}^{r-2}dx={\displaystyle \frac{1}{r-1}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{r-1}}& (k=0),\\ {\displaystyle \frac{r+k}{r-1}}& (k\geqq 1)\mathrm{.}\end{array}$$