東北大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

まず $P_1=(1,0)$ である。$P_1$ が移った点は$$\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right)$$であるから、条件 $$\overrightarrow{O{P}_1^{\mathrm{\prime }}}\cdot \overrightarrow{O{P}_1}=1$$ は $(a,c)\cdot (1,0)=a=1$ を意味する。したがって $a=1$ である。

次に $P_3=(0,1)$ である。$P_3$ が移った点は$$\left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right)$$であるから $(b,d)\cdot (0,1)=d=3$ であり、$d=3$ である。

さらに $$P_2=({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$$ である。$P_2$ が移った点は $({\displaystyle \frac{a+b}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{c+d}{\sqrt{2}}})$ なので、内積は ${\displaystyle \frac{a+b+c+d}{2}}$ である。これが3に等しいから $a+b+c+d=6$ である。$a=1$、$d=3$ を代入して $b+c=2$ を得る。

以上より、条件から決まるのは $$a=1,d=3,b+c=2$$ である。$b$ と $c$ は個別には定まらないが、次の設問では和 $b+c$ だけが必要である。

(2) $P=(\cos t,\sin t)$ とおく。この点が移った点を $P^{\mathrm{\prime }}$ とすると $$\overrightarrow{O{P}^{\mathrm{\prime }}}=(a\cos t+b\sin t,c\cos t+d\sin t)$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{O{P}^{\mathrm{\prime }}}\cdot \overrightarrow{OP}}& {\displaystyle =(a\cos t+b\sin t)\cos t+(c\cos t+d\sin t)\sin t}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a{\cos }^{2}t+(b+c)\sin t\cos t+d{\sin }^{2}t}\end{array}$$である。

(1) で得た $a=1$、$d=3$、$b+c=2$ を代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{O{P}^{\mathrm{\prime }}}\cdot \overrightarrow{OP}}& {\displaystyle ={\cos }^{2}t+2\sin t\cos t+3{\sin }^{2}t}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-\cos 2t+\sin 2t}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+\sqrt{2}\sin (2t-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}\end{array}$$である。 $0\leqq t\leqq \pi$ なので $2t-\pi \mathrm{/}4$ は $-\pi \mathrm{/}4$ から $7\pi \mathrm{/}4$ まで動く。この範囲で $\sin$ は最大値1、最小値 $-1$ をとる。

最大値は $2+\sqrt{2}$ であり、これは $$2t-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ すなわち $$t={\displaystyle \frac{3\pi }{8}}$$ のときである。

最小値は $2-\sqrt{2}$ であり、これは $$2t-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$$ すなわち $$t={\displaystyle \frac{7\pi }{8}}$$ のときである。

原問題の(1)は $a,b,c$ を求めるよう記載されているが、与えられた3条件だけでは $b,c$ を個別には決められない。決定できるのは $a=1,d=3,b+c=2$ までであり、(2)の値はこの和だけで一意に定まる。

内積に影響するのは行列の対称部分だけである。(1)で $a=1,d=3,b+c=2$ を得た後、$X=y^2-x^2,Y=2xy$ と置くと $X^2+Y^2=1$ になる。内積は $2+X+Y$ なので、コーシー・シュワルツの不等式から最大最小を出す。

(1)

$P_1,P_3$ の条件から直ちに$$a=1,d=3.$$$P_2=(1\mathrm{/}\sqrt{2},1\mathrm{/}\sqrt{2})$ の条件は$${\displaystyle \frac{a+b+c+d}{2}}=3$$だから$$b+c=2.$$$b,c$ は個別には定まらず、この和だけが後半に必要である。

(2)

$P=(x,y)=(\cos t,\sin t)$ とおく。求める内積を $Q$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle Q}& {\displaystyle =x(ax+by)+y(cx+dy)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2+2xy+3y^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+(y^2-x^2)+2xy\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$X=y^2-x^2,Y=2xy$$とおくと$$X^2+Y^2=(x^2+y^2{)}^2=1.$$コーシー・シュワルツの不等式より$$-\sqrt{2}\leqq X+Y\leqq \sqrt{2}\mathrm{.}$$したがって$$2-\sqrt{2}\leqq Q\leqq 2+\sqrt{2}\mathrm{.}$$最大の等号は $X=Y=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ のときである。これは$$-\cos 2t=\sin 2t={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$を意味し、$0\leqq t\leqq \pi$ では $t=3\pi \mathrm{/}8$ である。最小の等号は$$-\cos 2t=\sin 2t=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$のときで、$t=7\pi \mathrm{/}8$ である。

よって最大値は $2+\sqrt{2}$（$t=3\pi \mathrm{/}8$）、最小値は $2-\sqrt{2}$（$t=7\pi \mathrm{/}8$）である。