東北大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $t=\tan \theta$ とおく。条件より $0\leqq t\leqq 1$ である。直線 $l$ は $y=tx$、辺 $AB$ は $x+y=1$ であるから、交点 $C$ は $$x={\displaystyle \frac{1}{1+t}},y={\displaystyle \frac{t}{1+t}}$$ である。したがって$$OC=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{1}{1+t}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{t}{1+t}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{1+t^2}}{1+t}}$$である。

また $t=\tan \theta$ なので $$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{t+1}{\sqrt{1+t^2}}}$$ であり、$$OC={\displaystyle \frac{1}{\sin \theta +\cos \theta }}$$ とも書ける。$0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}4$ では $\sin \theta +\cos \theta$ は $1$ から $\sqrt{2}$ まで増加する。よって$$O{C}_{\max }=1(\theta =0),O{C}_{\min }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}})$$である。

(2)

軸 $l$ 方向の座標を $u$、それに垂直な符号付き距離を $v$ とする。すなわち $$u=x\cos \theta +y\sin \theta ,v=-x\sin \theta +y\cos \theta$$ とおく。$$q=\sqrt{1+t^2}$$ とすると $$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{q}},\sin \theta ={\displaystyle \frac{t}{q}}$$ である。

辺 $OA$ 上では $v=-tu$、辺 $OB$ 上では $v=u\mathrm{/}t$ である。また辺 $AB$ 上では $$v={\displaystyle \frac{q-u(1+t)}{1-t}}$$ である。ただし $0<t<1$ として計算し、端点 $t=0,1$ は最後に連続性で扱う。

軸と辺 $AB$ の交点は $$u_C={\displaystyle \frac{q}{1+t}}$$ であり、上側の半径と下側の半径が入れ替わる点は $$u_0={\displaystyle \frac{q}{1+2t-t^2}}$$ である。したがって断面積を積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{V}{\pi }}}& {\displaystyle ={\int }_0^{t\mathrm{/}q}{\left({\displaystyle \frac{u}{t}}\right)}^{2}du+{\int }_{t\mathrm{/}q}^{u_0}{\left({\displaystyle \frac{q-u(1+t)}{1-t}}\right)}^{2}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_{u_0}^{u_C}(tu{)}^{2}du+{\int }_{u_C}^{1\mathrm{/}q}\{(tu{)}^2-{\left({\displaystyle \frac{q-u(1+t)}{1-t}}\right)}^2\}du}\end{array}$$である。第1項から第3項は断面が円になる部分、第4項は断面が輪になる部分である。

これを整理すると $$V={\displaystyle \frac{\pi \sqrt{1+t^2}(-4t^3+t^2+4t+1)}{3(t+1)(t^2-2t-1{)}^2}}$$ である。したがって $$V(0)={\displaystyle \frac{\pi }{3}},V(1)={\displaystyle \frac{\pi \sqrt{2}}{12}}$$ であり、上の式は端点でもこの値に連続的につながる。

(3)

(2) の式を $t$ で微分すると$${\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\displaystyle \frac{dV}{dt}}={\displaystyle \frac{4t^7+6t^6+23t^5+9t^4-6t^3+4t^2+7t+1}{3(t+1{)}^2\sqrt{1+t^2}(t^2-2t-1{)}^3}}$$である。$0\leqq t\leqq 1$ では $t^2-2t-1<0$ である。また分子は $t^2(4-6t+9t^2)+(23t^5+6t^6+4t^7)+7t+1$ と見れば正である。ここで $4-6t+9t^2>0$ である。したがって $${\displaystyle \frac{dV}{dt}}<0(0<t<1)$$ であり、$V$ は単調に減少する。

よって最大値は $t=0$、すなわち $\theta =0$ のとき $$V_{\max }={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ であり、最小値は $t=1$、すなわち $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ のとき $$V_{\min }={\displaystyle \frac{\pi \sqrt{2}}{12}}$$ である。

三角形を軸上の点 $O,C$ と頂点 $A,B$ をもつ2つの三角形へ分ける。各三角形の回転体は円錐をつないだ形になるので、軸に垂直な半径が切り替わる位置を求め、円錐・円錐台の体積公式で区間ごとの体積を加減する。

(1)

辺 $AB$ は $x+y=1$ である。軸方向の単位ベクトルを$$(\cos \theta ,\sin \theta )$$とすると、交点 $C$ は$$C={\displaystyle \frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }}(\cos \theta ,\sin \theta )\mathrm{.}$$よって$$OC={\displaystyle \frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }}\mathrm{.}$$$0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}4$ で分母は $1$ から $\sqrt{2}$ まで増えるので$$O{C}_{\max }=1(\theta =0),O{C}_{\min }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(\theta =\pi \mathrm{/}4)\mathrm{.}$$(2)

軸方向の座標を $u$、軸に垂直な符号付き距離を $v$ とする。また$$t=\tan \theta ,q=\sqrt{1+t^2}$$とおく。三角形 $OAB$ を $OAC$ と $OBC$ に分けて軸のまわりに回転すると、それぞれは円錐をつないだ立体になる。両者の同じ $u$ における半径の大きい方を取れば、求める回転体の断面が得られる。

境界 $OA,OB,AB$ の軸からの距離は、それぞれ区間に応じて$$tu,{\displaystyle \frac{u}{t}},{\displaystyle \frac{q-u(1+t)}{1-t}}$$である。軸と $AB$ の交点、および2つの半径が等しくなる点は$$u_C={\displaystyle \frac{q}{1+t}},u_0={\displaystyle \frac{q}{1+2t-t^2}}$$である。

高さ $h$、両端の半径 $r,R$ の円錐台の体積を$$\mathrm{\Phi }(h;r,R)={\displaystyle \frac{\pi h}{3}}(r^2+rR+R^2)$$と書く。$u=0,t\mathrm{/}q,u_0,u_C,1\mathrm{/}q$ で区切り、各区間を円錐または円錐台として加える。最後の区間だけは外側の円錐台から内側の円錐台を引く。この公式へ各端点の半径を代入して整理すると$$V={\displaystyle \frac{\pi q(-4t^3+t^2+4t+1)}{3(t+1)(t^2-2t-1{)}^2}}\mathrm{.}$$この計算は、一次関数となる半径の両端値だけで実行できる。円錐台公式は$${\int }_0^h{(r+{\displaystyle \frac{R-r}{h}}u)}^{2}du={\displaystyle \frac{h}{3}}(r^2+rR+R^2)$$からも直ちに確認できる。

(3)

上式を微分すると$${\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\displaystyle \frac{dV}{dt}}={\displaystyle \frac{4t^7+6t^6+23t^5+9t^4-6t^3+4t^2+7t+1}{3(t+1{)}^2\sqrt{1+t^2}(t^2-2t-1{)}^3}}\mathrm{.}$$$0<t<1$ で分母は負である。分子は$$t^2(9t^2-6t+4)+23t^5+6t^6+4t^7+7t+1>0$$なので $V$ は減少する。したがって$$V_{\max }=V(0)={\displaystyle \frac{\pi }{3}},V_{\min }=V(1)={\displaystyle \frac{\pi \sqrt{2}}{12}}\mathrm{.}$$それぞれ $\theta =0,\pi \mathrm{/}4$ のときである。