東北大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

(1)

球面 $S$ の式は $x^2-2ax+y^2+z^2+a^2-4=0$ である。平方完成すると $(x-a{)}^2+y^2+z^2=4$ となる。したがって球の中心は $C=(a,0,0)$ で、半径は2である。

中心 $C$ から平面 $\alpha :x+2y+az-1=0$ までの距離を $d$ とすると $$d^2={\displaystyle \frac{(a-1{)}^2}{1^2+2^2+a^2}}={\displaystyle \frac{(a-1{)}^2}{a^2+5}}$$ である。交わってできる円の半径を $\rho$ とすると ${\rho }^2=4-d^2$ であるから、円の面積 $\pi {\rho }^2$ を最小にするには $d^2$ を最大にすればよい。

そこで $$\varphi (a)={\displaystyle \frac{(a-1{)}^2}{a^2+5}}$$ とおく。微分すると$${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{2(a-1)(a^2+5)-2a(a-1{)}^2}{(a^2+5{)}^2}}={\displaystyle \frac{2(a-1)(a+5)}{(a^2+5{)}^2}}$$である。したがって $\varphi (a)$ は $a=-5$ で極大となる。また $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\to \mathrm{\infty }$ では $\varphi (a)\to 1$ であり、$$\varphi (-5)={\displaystyle \frac{36}{30}}={\displaystyle \frac{6}{5}}$$ なので、最大は $a=-5$ のときである。

このとき球の中心は $C=(-5,0,0)$ で、平面は $x+2y-5z-1=0$ である。交円の中心は、球の中心 $C$ からこの平面へ下ろした垂線の足である。平面の法線方向は $(1,2,-5)$ であり、$C$ を平面の式に代入すると $-5-1=-6$ である。法線ベクトルの長さの2乗は $1^2+2^2+(-5{)}^2=30$ だから、垂線の足は $$C-{\displaystyle \frac{-6}{30}}(1,2,-5)=(-5,0,0)+{\displaystyle \frac{1}{5}}(1,2,-5)$$ である。したがって円の中心は $(-{\displaystyle \frac{24}{5}},{\displaystyle \frac{2}{5}},-1)$ である。

球と平面の交円

微分せず、交円の半径の式を平方差の恒等式で直接評価する。最大値と等号条件を一度に確定し、中心は法線方向への射影で求める。

球の中心は $C=(a,0,0)$、半径は2である。中心から平面までの距離を
$d$ とすると$$d^2={\displaystyle \frac{(a-1{)}^2}{a^2+5}}\mathrm{.}$$ここで$${\displaystyle \frac{6}{5}}-{\displaystyle \frac{(a-1{)}^2}{a^2+5}}={\displaystyle \frac{(a+5{)}^2}{5(a^2+5)}}\geqq 0$$だから$$d^2\leqq {\displaystyle \frac{6}{5}},$$等号は $a=-5$ のときに限る。交円の半径を $\rho$ とすると
${\rho }^2=4-d^2$ なので、面積が最小となるのは$$a=-5$$である。

このとき平面は $x+2y-5z-1=0$ で、中心 $C=(-5,0,0)$ から
法線 $(1,2,-5)$ 方向へ下ろした垂線の足は$$C-{\displaystyle \frac{-6}{30}}(1,2,-5)=(-{\displaystyle \frac{24}{5}},{\displaystyle \frac{2}{5}},-1)\mathrm{.}$$これが交円の中心である。