東北大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) 球面 $S$ は中心 $O$，半径 $\sqrt{5}$ の球面である。点 $P$ における接平面は半径ベクトル $\overrightarrow{OP}$ に垂直であるから，接平面上の点 $Q$ に対して，ベクトル $\overrightarrow{PQ}$ は $\overrightarrow{OP}$ と垂直である。したがって $$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{PQ}=0$$ である。ここで $$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}$$ なので$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{PQ}=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}{\mathrm{\mid }}^2$$となる。点 $P$ は球面上にあるから $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}{\mathrm{\mid }}^2=5$$ であり，求める内積は $5$ である。

(2) (1) より，$P_1(2,0,1)$ における接平面は $2x+z=5$ であり，$P_2(0,2,1)$ における接平面は $2y+z=5$ である。両方の接平面上にある点 $(x,y,z)$ は $2x+z=5,2y+z=5$ を満たす。2式を引くと $x=y$ である。そこで $x=y=u$ とおくと $z=5-2u$ であり，交線上の点は $(u,u,5-2u)$ と表される。

原点からこの点までの距離の2乗を $$D(u)=u^2+u^2+(5-2u{)}^2=6u^2-20u+25$$ とおく。平方完成すると $$D(u)=6{(u-{\displaystyle \frac{5}{3}})}^2+{\displaystyle \frac{25}{3}}$$ であるから，最小となるのは $u={\displaystyle \frac{5}{3}}$ のときである。このとき $$z=5-2\cdot {\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$$ なので $$R=({\displaystyle \frac{5}{3}},{\displaystyle \frac{5}{3}},{\displaystyle \frac{5}{3}})$$ である。

2接平面と最短点

2平面の交線を、原点から最も近い点と方向ベクトルに分ける。交線上の任意の点について三平方の形が得られるため、微分を使わずに最短点を確定できる。

(1)
接平面上の点 $Q$ に対し、$\overrightarrow{PQ}$ は半径
$\overrightarrow{OP}$ と垂直である。したがって$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}\cdot (\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ})=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}{\mathrm{\mid }}^2=5$$である。

(2)
2つの接平面は$$2x+z=5,2y+z=5$$である。点$$R_0=({\displaystyle \frac{5}{3}},{\displaystyle \frac{5}{3}},{\displaystyle \frac{5}{3}})$$は両方の平面上にあり、交線の方向ベクトルとして
$\mathit{v}=(1,-1,0)$ を取れる。よって交線上の任意の点は$$R=R_0+s\mathit{v}(s\in \mathbb{R})$$と表される。ここで $$R_0\cdot \mathit{v}=0$$ だから$$\mathrm{\mid }R{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }{R}_0{\mathrm{\mid }}^2+s^2\mathrm{\mid }\mathit{v}{\mathrm{\mid }}^2={\displaystyle \frac{25}{3}}+2s^2\geqq {\displaystyle \frac{25}{3}}\mathrm{.}$$等号は $s=0$ のときに限る。したがって求める点は$$R=({\displaystyle \frac{5}{3}},{\displaystyle \frac{5}{3}},{\displaystyle \frac{5}{3}})$$である。