東北大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $$\overrightarrow{p_1}=(1,0)$$ であり、$\overrightarrow{p_{n+1}}$ は $\overrightarrow{p_n}$ を正の向きに $\theta$ だけ回転し、大きさを $\alpha$ 倍したものである。したがって $\overrightarrow{p_n}$ の大きさは ${\alpha }^{n-1}$ であり、正の $x$ 軸から測った向きは $(n-1)\theta$ である。よって同じ向きをもつ単位ベクトルは $$\overrightarrow{e_n}=(\cos (n-1)\theta ,\sin (n-1)\theta )$$ である。

(2) $\theta =2\pi \mathrm{/}3$ のとき、向きは3項ごとに戻る。具体的に$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{p_{3j+1}}}& {\displaystyle ={\alpha }^{3j}(1,0),}\\ {\displaystyle \overrightarrow{p_{3j+2}}}& {\displaystyle ={\alpha }^{3j+1}(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}),}\\ {\displaystyle \overrightarrow{p_{3j+3}}}& {\displaystyle ={\alpha }^{3j+2}(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})}\end{array}$$である。したがって3項を1組にすると$$\begin{array}{r}{\displaystyle \overrightarrow{p_{3j+1}}+\overrightarrow{p_{3j+2}}+\overrightarrow{p_{3j+3}}={\alpha }^{3j}(1-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}-{\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(\alpha -{\alpha }^2))\mathrm{.}}\end{array}$$ $99=3\cdot 33$ であるから、$j=0,1,\dots ,32$ について和を取ればよい。よって$$\sum _{n=1}^{99}\overrightarrow{p_n}=(1-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}-{\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(\alpha -{\alpha }^2)){\displaystyle \frac{1-{\alpha }^{99}}{1-{\alpha }^3}}\mathrm{.}$$ここで$$1-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}-{\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{2}}=(1-\alpha )(1+{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}),{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(\alpha -{\alpha }^2)=(1-\alpha ){\displaystyle \frac{\sqrt{3}\alpha }{2}}$$であり、$$1-{\alpha }^3=(1-\alpha )(1+\alpha +{\alpha }^2)$$ である。$0<\alpha <1$ なので $1-\alpha \mathrm{\ne }0$ であり、$$\sum _{n=1}^{99}\overrightarrow{p_n}={\displaystyle \frac{1-{\alpha }^{99}}{1+\alpha +{\alpha }^2}}(1+{\displaystyle \frac{\alpha }{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}\alpha }{2}})$$である。

平面ベクトルを複素数で表す。回転を $\omega =e^{2\pi i\mathrm{/}3}$、拡大を $\alpha$ とすれば、各項は等比数列になり、99項の和を一度に計算できる。

(1)
ベクトル $(x,y)$ を複素数 $x+iy$ に対応させる。一般の $\theta$ では$$z_n={\alpha }^{n-1}{e}^{i(n-1)\theta }$$であるから、向きだけを表す単位ベクトルは$$\overrightarrow{e_n}=(\cos (n-1)\theta ,\sin (n-1)\theta )$$である。

(2)
$\theta =2\pi \mathrm{/}3$ とし、$$\omega =e^{2\pi i\mathrm{/}3}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$とおく。このとき $$z_n=(\alpha \omega {)}^{n-1}$$ であり、$$\sum _{n=1}^{99}{z}_n={\displaystyle \frac{1-(\alpha \omega {)}^{99}}{1-\alpha \omega }}\mathrm{.}$$${\omega }^3=1$ と $99=3\cdot 33$ より$$(\alpha \omega {)}^{99}={\alpha }^{99}$$ である。また$${\displaystyle \frac{1}{1-\alpha \omega }}={\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}+i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}\alpha }{2}}}{1+\alpha +{\alpha }^2}}\mathrm{.}$$実部と虚部を座標へ戻すと$$\sum _{n=1}^{99}\overrightarrow{p_n}={\displaystyle \frac{1-{\alpha }^{99}}{1+\alpha +{\alpha }^2}}(1+{\displaystyle \frac{\alpha }{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}\alpha }{2}})\mathrm{.}$$