東北大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

(1) $$\overrightarrow{AB}=B-A=(-4,0,2),\overrightarrow{AC}=C-A=(-4,1,4)$$である。これらの両方に垂直なベクトルを計算すると $$\mathit{n}=(-2,8,-4)$$ を取ることができる。実際，$$\mathit{n}\cdot \overrightarrow{AB}=8-8=0,\mathit{n}\cdot \overrightarrow{AC}=8+8-16=0$$である。したがって三角形 $ABC$ の面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }\mathit{n}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{(-2{)}^2+8^2+(-4{)}^2}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{84}=\sqrt{21}$$である。

(2) 法線ベクトルは $(-2,8,-4)$ を簡単にして $(1,-4,2)$ と取れる。平面の方程式を $x-4y+2z+k=0$ とおく。点 $A(4,0,0)$ を通るので $4+k=0$ より $k=-4$ である。したがって求める平面は $x-4y+2z-4=0$ である。点 $B,C$ を代入しても，それぞれ $0-0+4-4=0$，$0-4+8-4=0$ となり確かに通る。

(3) $D(3,8,3)$ から平面 $ABC$ までの距離を求める。平面の式から$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }3-4\cdot 8+2\cdot 3-4\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+(-4{)}^2+2^2}}}={\displaystyle \frac{27}{\sqrt{21}}}$$である。よって四面体の体積は$$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot [ABC]\cdot {\displaystyle \frac{27}{\sqrt{21}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \sqrt{21}\cdot {\displaystyle \frac{27}{\sqrt{21}}}=9$$である。

底面 $ABC$ と点 $D$

垂直ベクトルを先に作らず、2辺の長さと内積から三角形の面積を求める。平面は一般形へ3点を代入し、体積はその平面と点 $D$ の距離を高さとして計算する。

(1) $$\overrightarrow{AB}=(-4,0,2),\overrightarrow{AC}=(-4,1,4)\mathrm{.}$$したがって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}{\mathrm{\mid }}^2=20,\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}{\mathrm{\mid }}^2=33,\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=24.$$三角形の面積を $S$ とすると$$(2S{)}^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}{\mathrm{\mid }}^2-(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}{)}^2=20\cdot 33-{24}^2=84.$$よって $$S=\sqrt{21}$$ である。

(2)
平面を $ux+vy+wz=k$ とおく。$A,B,C$ を代入すると$$4u=k,2w=k,v+4w=k\mathrm{.}$$$u=1$ と取れば $k=4,w=2,v=-4$ となるので$$x-4y+2z=4$$である。

(3)
点 $D(3,8,3)$ から平面 $x-4y+2z-4=0$ までの距離は$$h={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }3-4\cdot 8+2\cdot 3-4\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+(-4{)}^2+2^2}}}={\displaystyle \frac{27}{\sqrt{21}}}$$である。(1)で求めた底面積 $$S=\sqrt{21}$$ を用いると$$V={\displaystyle \frac{1}{3}}Sh={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \sqrt{21}\cdot {\displaystyle \frac{27}{\sqrt{21}}}=9$$である。