東北大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

(1)

曲線 $C$ は $y=-a{x}^3+(2a-1)x^2+2a-3$ である。導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=-3a{x}^2+2(2a-1)x$ であり、$x=1$ での傾きは $-3a+4a-2=a-2$ である。点 $(1,3a-4)$ を通るので、接線 $L$ は $y-(3a-4)=(a-2)(x-1)$ すなわち $L:y=(a-2)x+2a-2$ である。

この直線と放物線 $y=x^2-2$ の交点は $x^2-2=(a-2)x+2a-2$ より $x^2-(a-2)x-2a=0$ を解けばよい。左辺は $(x-a)(x+2)$ と因数分解できるので、交点の $x$ 座標は $-2,a$ である。$-2<x<a$ では直線が放物線の上にある。

ここから回転体の体積を水平断面で求める。放物線は $y=x^2-2$ なので、水平線 $y=\text{一定}$ との交点は $$x=\pm \sqrt{y+2}$$ である。また直線は $$x={\displaystyle \frac{y-2a+2}{a-2}}$$ と書ける。

まず $-2\leqq y\leqq 2a-2$ では、水平断面は $y$ 軸を含み、回転すると半径 $\sqrt{y+2}$ の円板になる。したがってこの部分の体積は $$\pi {\int }_{-2}^{2a-2}(y+2)dy$$ である。

次に $2a-2\leqq y\leqq a^2-2$ では、水平断面は正の $x$ 側だけにあり、外半径が $\sqrt{y+2}$、内半径が ${\displaystyle \frac{y-2a+2}{a-2}}$ の輪になる。したがってこの部分の体積は$$\pi {\int }_{2a-2}^{a^2-2}\{(y+2)-{\left({\displaystyle \frac{y-2a+2}{a-2}}\right)}^2\}dy$$である。

以上より$$V=\pi {\int }_{-2}^{2a-2}(y+2)dy+\pi {\int }_{2a-2}^{a^2-2}\{(y+2)-{\left({\displaystyle \frac{y-2a+2}{a-2}}\right)}^2\}dy$$である。計算すると $$V={\displaystyle \frac{\pi a^3(a+4)}{6}}$$ となる。$a=2$ の場合も、直接 $-2\leqq y\leqq 2$ の円板を積分して同じ式になる。

条件 $V=10\pi a^2$ より、$a>0$ なので $${\displaystyle \frac{a(a+4)}{6}}=10$$ である。すなわち $a^2+4a-60=0$ だから $(a-6)(a+10)=0$ である。$a\geqq 2$ より $a=6$ である。

水平断面の円板と輪

水平断面を「放物線を回転した外側の円板」から「直線より内側の穴」を引く形に整理し、2つの積分を別々に計算する。最後に $a=2$ も同じ式へ連続的に含まれることを確認する。

接線は$$L:y=(a-2)x+2a-2$$で、放物線との交点の $x$ 座標は $-2,a$ である。

回転体を、$-2\leqq y\leqq a^2-2$ にある外側の円板から、
$2a-2\leqq y\leqq a^2-2$ にある内側の穴を除いたものと見る。
したがって$${\displaystyle \frac{V}{\pi }}={\int }_{-2}^{a^2-2}(y+2)dy-{\int }_{2a-2}^{a^2-2}{\left({\displaystyle \frac{y-2a+2}{a-2}}\right)}^{2}dy\mathrm{.}$$第1項は $a^4\mathrm{/}2$、第2項は$${\displaystyle \frac{1}{(a-2{)}^2}}{\left[{\displaystyle \frac{(y-2a+2{)}^3}{3}}\right]}_{2a-2}^{a^2-2}={\displaystyle \frac{a^3(a-2)}{3}}$$である。よって$$V=\pi \{{\displaystyle \frac{a^4}{2}}-{\displaystyle \frac{a^3(a-2)}{3}}\}={\displaystyle \frac{\pi a^3(a+4)}{6}}\mathrm{.}$$$a=2$ では穴がなく、直接計算して同じ値になる。
$V=10\pi a^2$, $a\geqq 2$ より$$a(a+4)=60$$となるので$$a=6.$$