東北大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $$\overrightarrow{AB}=(1-\sqrt{2},-1-\sqrt{2},\sqrt{2}),\overrightarrow{AC}=(-1-\sqrt{2},1-\sqrt{2},\sqrt{2})$$である。長さの2乗は $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}{\mathrm{\mid }}^2=(1-\sqrt{2}{)}^2+(-1-\sqrt{2}{)}^2+2=8$$ であり，同様に $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}{\mathrm{\mid }}^2=8$$ である。また内積は$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(1-\sqrt{2})(-1-\sqrt{2})+(-1-\sqrt{2})(1-\sqrt{2})+2=4$$である。したがってなす角を $\alpha$ とすると $$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{8}\sqrt{8}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であり，$\alpha ={60}^{\circ }$ である。

(2) (1) の2本のベクトルに垂直なベクトルとして $(1,1,2)$ を取れる。実際，$(1,1,2)$ と $\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$ の内積はいずれも0である。したがって平面 $S$ の方程式は $x+y+2z=k$ と書ける。点 $A(\sqrt{2},\sqrt{2},0)$ を代入して $k=2\sqrt{2}$ だから $x+y+2z=2\sqrt{2}$ である。

(3) まず三角形 $ABC$ について確認する。(1) より $\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }AC\mathrm{\mid }=2\sqrt{2}$，また $$\mathrm{\mid }BC\mathrm{\mid }=\sqrt{(-2{)}^2+2^2}=2\sqrt{2}$$ であるから，三角形 $ABC$ は正三角形である。したがって内心は重心でもあり，$$I={\displaystyle \frac{A+B+C}{3}}=({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}},{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}},{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}})$$である。辺の長さが $2\sqrt{2}$ の正三角形の内接円半径は $$\rho ={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}$$ である。

求める球の中心を $M$ とする。平面 $S$ による切り口の円の中心は，球の中心から平面 $S$ に下ろした垂線の足である。したがって，その切り口が三角形 $ABC$ の内接円であるためには，垂線の足が $I$ でなければならない。よって $M$ は $I$ を通り，平面 $S$ に垂直な直線上にある。法線ベクトルは $(1,1,2)$ なので $M=I+\lambda (1,1,2)$ とおける。

球は原点 $O$ を通るので，球の半径の2乗は $\mathrm{\mid }M{\mathrm{\mid }}^2$ である。一方，平面 $S$ と球の切り口の半径は $\rho$ であり，中心 $M$ から平面までの距離の2乗は $${\lambda }^2\{1^2+1^2+2^2\}=6{\lambda }^2$$ である。したがって $\mathrm{\mid }M{\mathrm{\mid }}^2={\rho }^2+6{\lambda }^2$ が成り立つ。

ここで $$\mathrm{\mid }I{\mathrm{\mid }}^2={\displaystyle \frac{4}{3}},I\cdot (1,1,2)=2\sqrt{2},{\rho }^2={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ であるから $$\mathrm{\mid }I+\lambda (1,1,2){\mathrm{\mid }}^2={\displaystyle \frac{4}{3}}+4\sqrt{2}\lambda +6{\lambda }^2$$ である。これを ${\displaystyle \frac{2}{3}}+6{\lambda }^2$ と等しくして $${\displaystyle \frac{4}{3}}+4\sqrt{2}\lambda ={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ より $$\lambda =-{\displaystyle \frac{1}{6\sqrt{2}}}$$ である。したがって $$M=({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}},{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}},{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})$$ となる。半径の2乗は $$\mathrm{\mid }M{\mathrm{\mid }}^2={\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。よって求める球面は$${(x-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}})}^2+{(y-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}})}^2+{(z-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})}^2={\displaystyle \frac{3}{4}}$$である。

球面と平面の切り口

球面を「中心＋半径」で最後に組み立てる代わりに、切り口の中心から球の中心までの符号付き距離を未知数にする。原点を通る条件を距離の三平方へ代入して一元一次方程式にする。

(1) $$\overrightarrow{AB}=(1-\sqrt{2},-1-\sqrt{2},\sqrt{2}),\overrightarrow{AC}=(-1-\sqrt{2},1-\sqrt{2},\sqrt{2})\mathrm{.}$$両者の長さは $2\sqrt{2}$、内積は4なので$$\cos \mathrm{\angle }BAC={\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$よって $\mathrm{\angle }BAC={60}^{\circ }$ である。

(2)
$(1,1,2)$ は $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ の両方と
垂直である。点 $A$ を代入して$$S:x+y+2z=2\sqrt{2}$$を得る。

(3)
3辺はいずれも $2\sqrt{2}$ なので、三角形 $ABC$ は正三角形である。
その内心と内接円半径は$$I=({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}},{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}},{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}),\rho ={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}\mathrm{.}$$単位法線を$$\mathit{e}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}(1,1,2)$$とし、球の中心を $M=I+h\mathit{e}$ とおく。平面 $S$ による
切り口の半径が $\rho$ なので、球の半径の2乗は
${\rho }^2+h^2$ である。一方、球は原点を通るから半径の2乗は$$\mathrm{\mid }M{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }I{\mathrm{\mid }}^2+2h(I\cdot \mathit{e})+h^2\mathrm{.}$$ここで$$\mathrm{\mid }I{\mathrm{\mid }}^2={\displaystyle \frac{4}{3}},I\cdot \mathit{e}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}},{\rho }^2={\displaystyle \frac{2}{3}}$$なので$${\displaystyle \frac{4}{3}}+{\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}}h+h^2={\displaystyle \frac{2}{3}}+h^2\mathrm{.}$$したがって $h=-1\mathrm{/}(2\sqrt{3})$ であり$$M=({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}},{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}},{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})\mathrm{.}$$さらに $\mathrm{\mid }M{\mathrm{\mid }}^2=3\mathrm{/}4$ だから、球面は$${(x-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}})}^2+{(y-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}})}^2+{(z-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})}^2={\displaystyle \frac{3}{4}}$$である。