東北大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

(1)
2つの漸化式を引くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+1}-b_{n+1}}& {\displaystyle =(a_n-4b_n+1)-(2a_n-5b_n-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-(a_n-b_n)+2}\end{array}$$である。ここで $a_1-b_1=1-0=1$ である。もし $a_n-b_n=1$ なら $a_{n+1}-b_{n+1}=-1+2=1$ となるので、数学的帰納法により $a_n-b_n=1$ がすべての正の整数 $n$ で成り立つ。

(2)
(1)より $b_n=a_n-1$ である。これを第1式 $a_{n+1}=a_n-4b_n+1$ に代入すると $$a_{n+1}=a_n-4(a_n-1)+1=-3a_n+5$$ を得る。

この漸化式の一定値を $L$ とすると $L=-3L+5$ より $L=5\mathrm{/}4$ である。したがって $$a_{n+1}-{\displaystyle \frac{5}{4}}=-3(a_n-{\displaystyle \frac{5}{4}})$$ となる。$a_1=1$ だから $a_1-{\displaystyle \frac{5}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ であり、$$a_n-{\displaystyle \frac{5}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}(-3{)}^{n-1}$$ である。よって $$a_n={\displaystyle \frac{5}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}(-3{)}^{n-1}$$ である。また $$b_n=a_n-1={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}(-3{)}^{n-1}$$ である。

差 $d_n=a_n-b_n$ と和 $s_n=a_n+b_n$ を同時に導入する。差が一定になることを確認した後、和だけの1次漸化式を解き、最後に $a_n=(s_n+d_n)\mathrm{/}2$、$b_n=(s_n-d_n)\mathrm{/}2$ へ戻す。

(1) $$d_n=a_n-b_n,s_n=a_n+b_n$$とおく。2式の差を取ると$$d_{n+1}=-d_n+2.$$$d_1=1$ なので、帰納的に$$d_n=1$$である。

(2)
次に2式の和を取ると$$s_{n+1}=3a_n-9b_n\mathrm{.}$$$$a_n={\displaystyle \frac{s_n+d_n}{2}},b_n={\displaystyle \frac{s_n-d_n}{2}}$$と $d_n=1$ を代入して$$s_{n+1}=-3s_n+6.$$一定値は $3\mathrm{/}2$ であり、$s_1=1$ だから$$s_n-{\displaystyle \frac{3}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(-3{)}^{n-1}\mathrm{.}$$すなわち$$s_n={\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}(-3{)}^{n-1}\mathrm{.}$$よって$$a_n={\displaystyle \frac{5}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}(-3{)}^{n-1},b_n={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}(-3{)}^{n-1}\mathrm{.}$$