東北大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

(1)

点 $(x,y)$ が $l_t$ 上にある条件は $$y={\displaystyle \frac{4tx+t^2-1}{t^2+1}}$$ である。両辺に $t^2+1$ を掛けて整理すると $(y-1)t^2-4xt+(y+1)=0$ である。したがって、ある実数 $t$ が存在するためには、この $t$ についての方程式が実数解をもてばよい。

判別式は $$(-4x{)}^2-4(y-1)(y+1)=16x^2-4(y^2-1)$$ である。よって $16x^2-4(y^2-1)\geqq 0$ すなわち $y^2\leqq 4x^2+1$ が必要である。

ただし $(x,y)=(0,1)$ のとき、もとの方程式は $2=0$ となり、実数 $t$ は存在しない。逆に、この点を除けば上の条件で実数解が存在する。したがって通りうる範囲は $y^2\leqq 4x^2+1\text{ただし }(0,1)\text{ を除く}$ である。図では、2つの曲線 $$y=\pm \sqrt{4x^2+1}$$ に挟まれる部分で、上の頂点 $(0,1)$ だけを除いた範囲である。

(2)

(1) の二次方程式が、さらに $t\geqq 0$ の解をもつ条件を調べる。 $x>0$ のとき、$t=0$ で $y=-1$ となり、$t$ を増やすと上側の境界まで到達できる。式で見ると、判別式条件に加えて下端は $y=-1$ である。したがって $$-1\leqq y\leqq \sqrt{4x^2+1}(x>0)$$ である。 $x=0$ のときは $$y={\displaystyle \frac{t^2-1}{t^2+1}}$$ であり、$t\geqq 0$ で $-1\leqq y<1$ を動く。 $x<0$ のときは、上側の直線 $y=1$ には有限の $t\geqq 0$ では達しない。一方、下側の境界 $$y=-\sqrt{4x^2+1}$$ は判別式が0となる正の $t$ で達する。したがって $$-\sqrt{4x^2+1}\leqq y<1(x<0)$$ である。

まとめると、求める範囲は$$\{\begin{array}{ll}-1\leqq y\leqq \sqrt{4x^2+1}& (x>0),\\ -1\leqq y<1& (x=0),\\ -\sqrt{4x^2+1}\leqq y<1& (x<0)\end{array}$$である。

【直線族の包絡】

半角置換 $t=\tan (\varphi \mathrm{/}2)$ により、直線族を単位円上の方向ベクトルで表す。通過範囲は内積の最大・最小として読み取り、$t$ が有限であるため届かない境界も明示する。

$$t=\tan {\displaystyle \frac{\varphi }{2}}$$とおくと$${\displaystyle \frac{4t}{1+t^2}}=2\sin \varphi ,{\displaystyle \frac{t^2-1}{t^2+1}}=-\cos \varphi \mathrm{.}$$よって$$l_t:y=2x\sin \varphi -\cos \varphi \mathrm{.}$$(1)
$t\in \mathbb{R}$ は $-\pi <\varphi <\pi$ に対応する。固定した $x$ に対し$$2x\sin \varphi -\cos \varphi$$の最大・最小は原則として$$\pm \sqrt{4x^2+1}$$である。ただし $\varphi =\pm \pi$ は有限の $t$ に対応せず、この欠落が
$(x,y)=(0,1)$ だけを除く。したがって$$y^2\leqq 4x^2+1,(x,y)\mathrm{\ne }(0,1)\mathrm{.}$$(2)
$t\geqq 0$ は $0\leqq \varphi <\pi$ に対応する。この半円上で内積の
最大・最小を調べると$$\{\begin{array}{ll}-1\leqq y\leqq \sqrt{4x^2+1}& (x>0),\\ -1\leqq y<1& (x=0),\\ -\sqrt{4x^2+1}\leqq y<1& (x<0)\mathrm{.}\end{array}$$$y=1$ 側の不等号が厳しいのは、$\varphi =\pi$ が含まれないためである。