東北大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

点 $(x,y)$ を原点のまわりに ${30}^{\circ }$ 回転すると $(x\cos {30}^{\circ }-y\sin {30}^{\circ },x\sin {30}^{\circ }+y\cos {30}^{\circ })$ に移る。$y=f(x)$ を代入して$$P_1=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}f(x),{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}f(x))$$である。

(2)

条件より、$P_1$ の $y$ 座標について $${\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}f(x)=1+{\int }_0^{x}f(t)dt$$ が成り立つ。両辺を $x$ で微分すると $${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$$ である。両辺を2倍して $1+\sqrt{3}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=2f(x)$ を得る。

また、後で使うために $x=0$ を代入すると $${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}f(0)=1$$ だから $f(0)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$ である。

(3)

(2) の微分方程式を $\sqrt{3}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=2f(x)-1$ と書く。ここで $h(x)=2f(x)-1$ とおくと $$h^{\mathrm{\prime }}(x)=2f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\{2f(x)-1\}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}h(x)$$ である。したがって $h(x)=C{e}^{2x\mathrm{/}\sqrt{3}}$ である。

初期値 $f(0)=2\mathrm{/}\sqrt{3}$ より $$h(0)=2f(0)-1={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}}-1$$ だから $$2f(x)-1=({\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}}-1)e^{2x\mathrm{/}\sqrt{3}}$$ である。よって $$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{4-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}}{e}^{2x\mathrm{/}\sqrt{3}}$$ である。

【${30}^{\circ }$ 回転】

一次微分方程式の定数解を先に取り出し、残りを変数分離する。得た関数を元の積分等式へ代入し、微分で失われた積分定数を初期値が補っていることも確認する。

(1) $$P_1=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}x-f(x)}{2}},{\displaystyle \frac{x+\sqrt{3}f(x)}{2}})\mathrm{.}$$(2)
第2座標の条件を微分して$$1+\sqrt{3}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=2f(x)$$を得る。また $x=0$ を元の等式へ代入すると$$f(0)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$(3)
定数解 $f=1\mathrm{/}2$ を取り出し$$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}+u(x)$$とおく。すると$$u^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}u(x)$$だから$$u(x)=C{e}^{2x\mathrm{/}\sqrt{3}}\mathrm{.}$$初期値より$$C={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{4-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$したがって$$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{4-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}}{e}^{2x\mathrm{/}\sqrt{3}}\mathrm{.}$$この式は微分方程式と $x=0$ の積分等式を満たすので、元の積分等式も満たす。