東北大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(i)
1回の試行で $a_i-b_i=0$ となるのは、2つのさいころの目が等しいときである。その場合は $(1,1),(2,2),\dots ,(6,6)$ の6通りで、全体36通りのうち6通りだから、確率は $1\mathrm{/}6$ である。

求める条件 $$(a_1-b_1)(a_2-b_2)(a_3-b_3)=0$$ は、3回のうち少なくとも1回で $a_i=b_i$ となることである。余事象は3回とも $a_i\mathrm{\ne }{b}_i$ であり、その確率は ${\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^3$ である。よって求める確率は $$1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^3={\displaystyle \frac{91}{216}}$$ である。

(ii)
1回の試行で和 $a_i+b_i$ が取り得る値は $2$ から $12$ までである。積が100になるために必要な和の組は $$100=2\cdot 5\cdot 10=4\cdot 5\cdot 5$$ より、順序を除けば $(2,5,10),(4,5,5)$ だけである。

2個のさいころの和が $2,4,5,10$ となる場合の数は、それぞれ $1,3,4,3$ である。したがって、和の組が $(2,5,10)$ の並べ替えになる場合の数は $3!\cdot 1\cdot 4\cdot 3=72$ である。また、和の組が $(4,5,5)$ の並べ替えになる場合の数は $3\cdot 3\cdot 4\cdot 4=144$ である。よって有利な場合の数は $72+144=216$ である。

3回の試行全体の場合の数は ${36}^3$ 通りだから、求める確率は $${\displaystyle \frac{216}{{36}^3}}={\displaystyle \frac{1}{216}}$$ である。

1回の試行における「同じ目」と「2個の和」の確率分布を先に作り、3回を独立な積として扱う。(ii)では積100を作る和の多重集合だけを列挙し、多項分布の係数を掛ける。

(i)
1回で2個の目が等しい確率は $6\mathrm{/}36=1\mathrm{/}6$、異なる確率は $5\mathrm{/}6$ である。3回は独立なので、少なくとも1回等しい確率は$$1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^3={\displaystyle \frac{91}{216}}\mathrm{.}$$(ii)
2個のさいころの和 $s$ について必要な部分だけを書くと$$\begin{array}{ccccc}s& 2& 4& 5& 10\\ \text{場合の数}& 1& 3& 4& 3\end{array}$$である。各 $s_i$ は2以上12以下であり、$$s_1{s}_2{s}_3=100$$を満たす多重集合は$$\{2,5,10\},\{4,5,5\}$$の2つだけである。

前者は6通りに並べられるので$$6\cdot 1\cdot 4\cdot 3=72$$通り、後者は5の位置以外、すなわち4の位置を3通りに選べるので$$3\cdot 3\cdot 4^2=144$$通りである。全事象は ${36}^3$ 通りだから$${\displaystyle \frac{72+144}{{36}^3}}={\displaystyle \frac{1}{216}}\mathrm{.}$$