東北大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験 理系理系数学 第2問

(1)

まず $0\leqq t\leqq 1$ とする。このとき $$g(t)={\int }_0^t(t-x{)}^{n}dx+{\int }_t^1(x-t{)}^{n}dx$$ である。よって$$g(t)={\displaystyle \frac{t^{n+1}}{n+1}}+{\displaystyle \frac{(1-t{)}^{n+1}}{n+1}}={\displaystyle \frac{t^{n+1}+(1-t{)}^{n+1}}{n+1}}$$である。

これを微分すると $g^{\mathrm{\prime }}(t)=t^n-(1-t{)}^n$ である。したがって $0<t<1\mathrm{/}2$ では $g^{\mathrm{\prime }}(t)<0$、$1\mathrm{/}2<t<1$ では $g^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ であり、$t=1\mathrm{/}2$ で最小となる。その値は $$g\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{2(1\mathrm{/}2{)}^{n+1}}{n+1}}={\displaystyle \frac{1}{2^n(n+1)}}$$ である。

次に $t<0$ のときは、$0\leqq x\leqq 1$ で $\mathrm{\mid }x-t\mathrm{\mid }=x-t>x$ なので $$g(t)>{\int }_0^1{x}^{n}dx={\displaystyle \frac{1}{n+1}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{2^n(n+1)}}$$ である。$t>1$ のときも同様に $\mathrm{\mid }x-t\mathrm{\mid }=t-x>1-x$ から $$g(t)>{\int }_0^1(1-x{)}^{n}dx={\displaystyle \frac{1}{n+1}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{2^n(n+1)}}$$ である。

したがって全体での最小値は ${\displaystyle \frac{1}{2^n(n+1)}}$ であり、それを与える値は $t={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

(2)

二項展開により$$(x-t{)}^n=x^n+{}_n{\mathrm{C}}_1{x}^{n-1}(-t)+{}_n{\mathrm{C}}_2{x}^{n-2}(-t{)}^2+\cdots +(-t{)}^n$$である。ここで $x^0,x^1,\dots ,x^{n-1}$ に $f(x)$ を掛けた積分は、仮定によりすべて0である。したがって積分に残るのは $x^n$ の項だけであり、すべての実数 $t$ について $${\int }_0^1(x-t{)}^{n}f(x)dx={\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx$$ が成り立つ。

(3)

(2) の等式で $t=1\mathrm{/}2$ とおくと $${\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx={\int }_0^1{(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n}f(x)dx$$ である。よって、$\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }\leqq M$ を用いると$$\mid {\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx\mid \leqq {\int }_0^1{\mid x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mid }^n\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }dx\leqq M{\int }_0^1{\mid x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mid }^{n}dx$$である。(1)の結果を用いれば $${\int }_0^1{\mid x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mid }^{n}dx={\displaystyle \frac{1}{2^n(n+1)}}$$ だから $$\mid {\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx\mid \leqq {\displaystyle \frac{M}{2^n(n+1)}}$$ である。

$\mid x-t{\mid }^n$ の中心

最小化は微分を使わず、左右対称性と凸性で処理する。積分条件は「次数 $n-1$ 以下の任意の多項式との積分が0」とまとめ、最良の中心多項式を選んで評価する。

(1)
$0\leqq t\leqq 1$ では$$g(t)={\displaystyle \frac{t^{n+1}+(1-t{)}^{n+1}}{n+1}}\mathrm{.}$$$u^{n+1}$ は $u\geqq 0$ で下に凸であるから$${\displaystyle \frac{t^{n+1}+(1-t{)}^{n+1}}{2}}\geqq {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n+1}\mathrm{.}$$等号は $t=1\mathrm{/}2$ のときに限る。区間外では端点へ近づけるほど積分が小さく
なるので、全実数でも$$\min g(t)={\displaystyle \frac{1}{2^n(n+1)}},t={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(2)
$(x-t{)}^n-x^n$ は次数 $n-1$ 以下の多項式である。仮定を線形結合すれば、
次数 $n-1$ 以下の任意の多項式 $q(x)$ について$${\int }_0^{1}q(x)f(x)dx=0$$である。よって$${\int }_0^1(x-t{)}^{n}f(x)dx={\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx\mathrm{.}$$(3)
$t=1\mathrm{/}2$ を選び、$\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }\leqq M$ を用いると$$\mid {\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx\mid \leqq M{\int }_0^1{\mid x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mid }^{n}dx={\displaystyle \frac{M}{2^n(n+1)}}\mathrm{.}$$