東北大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
放物線上の $x=u$ における接線は$$y=ux+{\displaystyle \frac{3-u^2}{2}}$$である。$u=a,b$ の2本を連立すると$$P=({\displaystyle \frac{a+b}{2}},{\displaystyle \frac{ab+3}{2}})$$となる。

(2)
2本の接線の傾きは $a,b$ である。まず線としての鋭角が45度である条件は$$\mid {\displaystyle \frac{b-a}{1+ab}}\mid =1,$$すなわち$$(b-a{)}^2=(1+ab{)}^2$$である。ただし、本問は直線の鋭角ではなく半直線 $PA,PB$ のなす角を
指定している。$a<b$ のもとで $P$ から $A$ へ向かう向きは
$-(1,a)$、$P$ から $B$ へ向かう向きは $(1,b)$ である。
その内積が正でなければ45度にならないため$$-(1+ab)>0.$$したがって必要十分条件は$$(b-a{)}^2=(1+ab{)}^2,1+ab<0$$である。

(3)
$P=(X,Y)$ とすれば$$a+b=2X,ab=2Y-3.$$また$$(b-a{)}^2=(a+b{)}^2-4ab$$だから、(2) の2乗した関係を代入して整理すると$$Y^2=X^2+2$$を得る。さらに $1+ab=2(Y-1)<0$ なので $Y<1$ である。
よって双曲線の上側の枝は除かれ、軌跡は$$y^2=x^2+2,y\leqq -\sqrt{2}$$となる。

逆にこの下側の枝上の点では、$a,b$ を2次方程式$$u^2-2Xu+2Y-3=0$$の2解として取れる。その判別式は $4(Y-1{)}^2>0$ であり、
$1+ab=2(Y-1)<0$ も成り立つので、条件を満たす $a<b$ が実際に
存在する。

接線の交点が描く下側の枝

接線上の2本の半直線 $\overrightarrow{PA}$、$\overrightarrow{PB}$ の内積から45度条件を作る。線のなす鋭角だけでなく、実際の角 $\mathrm{\angle }APB$ の向きが $1+ab<0$ を要求する点まで追い、軌跡の枝を確定する。

(1)
$x=u$ における接線は$$y=ux+{\displaystyle \frac{3-u^2}{2}}$$である。$u=a,b$ の2式を連立すると$$P=({\displaystyle \frac{a+b}{2}},{\displaystyle \frac{ab+3}{2}})$$を得る。

(2)
$P=(X,Y)$ とする。(1) の座標を用いると$$\overrightarrow{PA}={\displaystyle \frac{b-a}{2}}(-1,-a),\overrightarrow{PB}={\displaystyle \frac{b-a}{2}}(1,b)\mathrm{.}$$よって $\mathrm{\angle }APB={45}^{\circ }$ である条件は$${\displaystyle \frac{-(1+ab)}{\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$特に $1+ab<0$ であり、両辺を2乗して$$2(1+ab{)}^2=(1+a^2)(1+b^2)$$となる。右辺は$$(1+a^2)(1+b^2)=(1+ab{)}^2+(b-a{)}^2$$だから$$(b-a{)}^2=(1+ab{)}^2,1+ab<0$$が必要十分条件である。

(3) $$a+b=2X,ab=2Y-3$$である。(2) の2乗した関係へ代入すると$$4X^2-4(2Y-3)=4(Y-1{)}^2,$$すなわち$$Y^2=X^2+2$$を得る。また $1+ab=2(Y-1)<0$ より $Y<1$ である。
双曲線上では $Y\geqq \sqrt{2}$ または $Y\leqq -\sqrt{2}$ なので、
残るのは下側の枝だけである。

逆に $$Y^2=X^2+2,Y\leqq -\sqrt{2}$$ を満たす点について、
$a,b$ を方程式$$u^2-2Xu+(2Y-3)=0$$の2解とする。その判別式は$$4X^2-4(2Y-3)=4(Y-1{)}^2>0$$であり、$a<b$ と取れる。また $1+ab=2(Y-1)<0$ なので、
実際の半直線のなす角も45度になる。したがって軌跡は$$y^2=x^2+2,y\leqq -\sqrt{2}$$である。