東北大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$x^4$ の係数が1であるから $f(x)=x^4+p{x}^3+q{x}^2+rx+s$ とおく。区間が $[-1,1]$ なので，奇関数の積分は0であることを用いる。

まず $n=1$ の条件を使うと$${\int }_{-1}^{1}xf(x)dx={\int }_{-1}^1(x^5+p{x}^4+q{x}^3+r{x}^2+sx)dx=0$$である。奇関数の項は消えるので $${\displaystyle \frac{2p}{5}}+{\displaystyle \frac{2r}{3}}=0$$ すなわち $${\displaystyle \frac{p}{5}}+{\displaystyle \frac{r}{3}}=0$$ である。また $n=3$ の条件から$${\int }_{-1}^1{x}^{3}f(x)dx=0$$より $${\displaystyle \frac{2p}{7}}+{\displaystyle \frac{2r}{5}}=0$$ すなわち $${\displaystyle \frac{p}{7}}+{\displaystyle \frac{r}{5}}=0$$ である。2式を連立すると $p=r=0$ である。

したがって $f(x)=x^4+q{x}^2+s$ と書ける。$n=0$ の条件は$${\int }_{-1}^1(x^4+q{x}^2+s)dx=0$$であり，$${\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{2q}{3}}+2s=0$$ となる。$n=2$ の条件は$${\int }_{-1}^1{x}^2(x^4+q{x}^2+s)dx=0$$であり，$${\displaystyle \frac{2}{7}}+{\displaystyle \frac{2q}{5}}+{\displaystyle \frac{2s}{3}}=0$$ となる。2で割って整理すると $${\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{q}{3}}+s=0,{\displaystyle \frac{1}{7}}+{\displaystyle \frac{q}{5}}+{\displaystyle \frac{s}{3}}=0$$ である。第1式から $$s=-{\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{q}{3}}$$ として第2式に代入すると $${\displaystyle \frac{1}{7}}+{\displaystyle \frac{q}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{15}}-{\displaystyle \frac{q}{9}}=0$$ すなわち $${\displaystyle \frac{8}{105}}+{\displaystyle \frac{4q}{45}}=0$$ である。よって $q=-{\displaystyle \frac{6}{7}}$ であり，$$s=-{\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{7}}={\displaystyle \frac{3}{35}}$$ である。したがって $$f(x)=x^4-{\displaystyle \frac{6}{7}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{35}}$$ を得る。

$(x^2-1{)}^4$ を4回微分して4次式を作る。端点で3階微分まで消えることを利用し、部分積分を繰り返して $1,x,x^2,x^3$ のすべてと直交することを一度に示す。

$$F(x)=(x^2-1{)}^4=x^8-4x^6+6x^4-4x^2+1$$とおく。4回微分すると$$F^{(4)}(x)=1680x^4-1440x^2+144=1680(x^4-{\displaystyle \frac{6}{7}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{35}})$$である。そこで$$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1680}}{F}^{(4)}(x)=x^4-{\displaystyle \frac{6}{7}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{35}}$$と定める。

$F(x)$ は $x=\pm 1$ をそれぞれ4重根にもつので、$$F(\pm 1)=F^{\mathrm{\prime }}(\pm 1)=F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(\pm 1)=F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(\pm 1)=0$$である。$n=0,1,2,3$ に対して部分積分を4回行うと、すべての境界項が消え、$${\int }_{-1}^1{x}^n{F}^{(4)}(x)dx={\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{d^4}{d{x}^4}}(x^n)F(x)dx=0$$となる。最後の等号は $x^n$ の4階微分が0だからである。したがってこの
$f(x)$ は4条件をすべて満たす。$x^4$ の係数も1なので、求める式は$$f(x)=x^4-{\displaystyle \frac{6}{7}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{35}}$$である。