東北大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

底面の半径を $r$、母線を $l$、高さを $h$ とする。直円すいの側面積は $\pi rl$ であるから、条件より $\pi rl=6\pi$ すなわち $rl=6,l={\displaystyle \frac{6}{r}}$ である。

また、母線、半径、高さは直角三角形を作るので $l^2=r^2+h^2$ である。したがって $$h^2=l^2-r^2={\displaystyle \frac{36}{r^2}}-r^2$$ であり、$h>0$ より $0<r^2<6$ である。

体積は $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h$ である。$V>0$ なので、$V$ を最大にすることは $V^2$ を最大にすることと同じである。定数 ${\pi }^2\mathrm{/}9$ を除いて $$r^4{h}^2=r^4({\displaystyle \frac{36}{r^2}}-r^2)=36r^2-r^6$$ を最大化すればよい。$u=r^2$ とおくと、$0<u<6$ で $36u-u^3$ を最大にする問題になる。 $${\displaystyle \frac{d}{du}}(36u-u^3)=36-3u^2=3(12-u^2)$$ であるから、最大は $u=2\sqrt{3}$ のときに生じる。よって $$r^2=2\sqrt{3},r=\sqrt{2\sqrt{3}}$$ である。また $$h^2={\displaystyle \frac{36}{2\sqrt{3}}}-2\sqrt{3}=6\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$$ だから $$h=2\sqrt[4]{3}$$ である。

側面積条件から体積の2乗を $u=r^2$ の式へ直す。微分の代わりに相加相乗平均を3項へ適用し、等号条件から最大化する半径を決める。

底面半径を $r$、母線を $l$、高さを $h$ とする。側面積より$$rl=6,$$また$$l^2=r^2+h^2\mathrm{.}$$$u=r^2$ とおくと$$h^2={\displaystyle \frac{36}{u}}-u\mathrm{.}$$体積 $V=\pi r^{2}h\mathrm{/}3$ は正なので、$V^2$ を最大にすればよい。定数を除くと$$r^4{h}^2=u(36-u^2)$$を最大化する問題である。

正の3数$$u^2,{\displaystyle \frac{36-u^2}{2}},{\displaystyle \frac{36-u^2}{2}}$$の和は36である。相加相乗平均より$$u^2{\left({\displaystyle \frac{36-u^2}{2}}\right)}^2\leqq {12}^3\mathrm{.}$$したがって $u(36-u^2)$ は、3数が等しいときに最大となる。等号条件は$$u^2={\displaystyle \frac{36-u^2}{2}},$$すなわち $u^2=12$ である。$u>0$ より$$u=2\sqrt{3}\mathrm{.}$$したがって$$r=\sqrt{2\sqrt{3}}\mathrm{.}$$さらに$$h^2={\displaystyle \frac{36}{2\sqrt{3}}}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$$なので$$h=2\sqrt[4]{3}\mathrm{.}$$