東北大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-12ax+b$ である。$x=a$ において極大値をとるので、まず $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ でなければならない。したがって $3a^2-12a^2+b=0$ より $b=9a^2$ である。また $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-12a$ だから、$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)=-6a<0$ であり、実際に $x=a$ で極大となる。

このとき $$f(a)=a^3-6a\cdot a^2+9a^2\cdot a+1=4a^3+1$$ である。

(2) $b=9a^2$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)-f(a)}& {\displaystyle =x^3-6a{x}^2+9a^{2}x-4a^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-a{)}^2(x-4a)}\end{array}$$である。したがって曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=f(a)$ は $x=a$ で接し、もう一度 $x=4a$ で交わる。$a>0$ であり、$a\leqq x\leqq 4a$ では $(x-a{)}^2\geqq 0,x-4a\leqq 0$ なので $f(x)-f(a)\leqq 0$ である。よって囲まれた部分の面積 $S$ は $$S={\int }_a^{4a}\{f(a)-f(x)\}dx={\int }_a^{4a}(x-a{)}^2(4a-x)dx$$ である。 $u=x-a$ とおくと、$0\leqq u\leqq 3a$、$4a-x=3a-u$ となる。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{3a}{u}^2(3a-u)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[a{u}^3-{\displaystyle \frac{u^4}{4}}]}_0^{3a}=27a^4-{\displaystyle \frac{81}{4}}{a}^4={\displaystyle \frac{27}{4}}{a}^4\mathrm{.}}\end{array}$$これが $a^2$ に等しいので、$a>0$ より $${\displaystyle \frac{27}{4}}{a}^2=1.$$ よって $$a={\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}}$$ である。

極大点で導関数が0になることから $b$ を決める。面積計算では $x=a(1+u)$ と無次元化し、図形の形と大きさを分離して、一定の積分値に $a^4$ が掛かる形へ直す。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-12ax+b$$であり、$f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ より$$b=9a^2\mathrm{.}$$また $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)=-6a<0$ なので、確かに極大である。$$f(a)=4a^3+1\mathrm{.}$$(2)
$x=a(1+u)$ とおく。すると$$f(a)-f(x)=a^3{u}^2(3-u)\mathrm{.}$$曲線と水平線 $y=f(a)$ の次の交点は $u=3$、すなわち $x=4a$ である。したがって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_a^{4a}\{f(a)-f(x)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^4{\int }_0^3{u}^2(3-u)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^4{[u^3-{\displaystyle \frac{u^4}{4}}]}_0^3={\displaystyle \frac{27}{4}}{a}^4\mathrm{.}}\end{array}$$条件 $S=a^2$ と $a>0$ より$${\displaystyle \frac{27}{4}}{a}^2=1.$$ゆえに$$a={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}}\mathrm{.}$$