東北大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

極大値をもつためには $p>0$ が必要である。そこで $$u=\sqrt{{\displaystyle \frac{p}{3}}}$$ とおく。導関数は $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-p$ であり、臨界点は $x=\pm u$ である。$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x$ より、極大点は負の方だから $a=-u$ である。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b=f(a)}& {\displaystyle =(-u{)}^3-p(-u)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-u^3+pu=u(p-u^2)={\displaystyle \frac{2pu}{3}}}\end{array}$$である。

点 $P(a,b)$ を原点中心に正の向きに90度回転すると $Q=(-b,a)$ である。これが曲線 $y=x^3-px$ 上にあるので、$a=(-b{)}^3-p(-b)$ すなわち $-u=-b^3+pb$ が成り立つ。ここで $b=2pu\mathrm{/}3$ を代入すると $$-u=-{\left({\displaystyle \frac{2pu}{3}}\right)}^3+p\cdot {\displaystyle \frac{2pu}{3}}\mathrm{.}$$ $u>0$ で割り、さらに $u^2=p\mathrm{/}3$ を用いると$$-1=-{\displaystyle \frac{8p^3{u}^2}{27}}+{\displaystyle \frac{2p^2}{3}}=-{\displaystyle \frac{8p^4}{81}}+{\displaystyle \frac{2p^2}{3}}\mathrm{.}$$したがって $8p^4-54p^2-81=0$ である。$X=p^2$ とおくと $8X^2-54X-81=0$ であり、$$X={\displaystyle \frac{54+18\sqrt{17}}{16}}={\displaystyle \frac{9(3+\sqrt{17})}{8}}$$ を得る。$p>0$ だから $$p=3\sqrt{{\displaystyle \frac{3+\sqrt{17}}{8}}}$$ である。

極大点の $x$ 座標を $-u$ と置く。すると $p$、極大値、90度回転後の点がすべて $u$ の単項式で表せるため、曲線条件を $u^4$ の2次方程式へ落とす。

極大点の $x$ 座標を $-u$ とする。ただし $u>0$ である。$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-p$$だから$$p=3u^2\mathrm{.}$$極大値は$$b=f(-u)=-u^3+3u^3=2u^3$$であり、$$P=(-u,2u^3)\mathrm{.}$$これを正の向きに ${90}^{\circ }$ 回転した点は$$Q=(-2u^3,-u)$$である。

$Q$ が $y=x^3-px$ 上にある条件は$$-u=(-2u^3{)}^3-3u^2(-2u^3)=-8u^9+6u^5\mathrm{.}$$$u>0$ で割ると$$8u^8-6u^4-1=0.$$$v=u^4$ とおけば$$8v^2-6v-1=0.$$$v>0$ より$$v={\displaystyle \frac{3+\sqrt{17}}{8}}\mathrm{.}$$したがって$$p=3u^2=3\sqrt{u^4}=3\sqrt{{\displaystyle \frac{3+\sqrt{17}}{8}}}\mathrm{.}$$