東北大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) 放物線 $y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-1$ の $x=t$ における接線の傾きは $t$ である。$t\mathrm{\ne }0$ のとき，法線 $l_t$ の傾きは $-1\mathrm{/}t$ なので，法線の式は $$y-({\displaystyle \frac{t^2}{2}}-1)=-{\displaystyle \frac{1}{t}}(x-t)$$ である。点 $P(p,q)$ がこの法線上にある条件は $$q-({\displaystyle \frac{t^2}{2}}-1)=-{\displaystyle \frac{1}{t}}(p-t)$$ である。両辺に $t$ を掛けて整理すると $$tq-{\displaystyle \frac{t^3}{2}}+t=-p+t$$ すなわち $t^3-2qt-2p=0$ となる。 $t=0$ のとき，接線は水平で法線は $x=0$ である。点 $P(p,q)$ がこの法線上にある条件は $p=0$ であり，上の式に $t=0$ を代入しても $-2p=0$ となる。したがって上の関係式は $t=0$ の場合も含んでいる。

(2) $q=3\mathrm{/}2$ のとき，(1) の式は $t^3-3t-2p=0$ である。ここで $h(t)=t^3-3t$ とおくと，方程式は $h(t)=2p$ である。 $$h^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-3=3(t-1)(t+1)$$ だから，$h(t)$ は $t=-1$ で極大，$t=1$ で極小をとる。値は $h(-1)=2,h(1)=-2$ である。したがって水平線 $y=2p$ との交点数を読むと，法線の本数は$$\{\begin{array}{ll}3\text{本}& (-1<p<1),\\ 2\text{本}& (p=-1,1),\\ 1\text{本}& (p<-1,1<p)\end{array}$$である。

(3) 一般に $F(t)=t^3-2qt-2p$ とおく。法線がちょうど2本あるとは，この3次方程式が異なる実数解をちょうど2つもつことである。3次方程式で異なる実数解がちょうど2つになるのは，重解を1つもち，かつ3重解ではないときである。

重解を $t=\alpha$ とする。このとき $$F(\alpha )=0,F^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=0$$ である。$F^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-2q$ だから $3{\alpha }^2-2q=0$ すなわち $q={\displaystyle \frac{3}{2}}{\alpha }^2$ である。また $$F(\alpha )={\alpha }^3-2q\alpha -2p=0$$ に代入すると ${\alpha }^3-3{\alpha }^3-2p=0$ より $p=-{\alpha }^3$ である。もし $\alpha =0$ なら $p=q=0$ となり，$F(t)=t^3$ で3重解になって法線は1本だけである。したがって $\alpha \mathrm{\ne }0$，特に $q>0$ である。 $p=-{\alpha }^3$，$q={\displaystyle \frac{3}{2}}{\alpha }^2$ から $\alpha$ を消去すると $$p^2={\alpha }^6,q^3={\displaystyle \frac{27}{8}}{\alpha }^6$$ である。したがって $$q>0,8q^3=27p^2$$ が求める条件である。

【法線の本数が変わる三次関数】

3次方程式が異なる2実根をもつ条件を、微分ではなく重解を含む因数分解で表す。重解を $\alpha$ と置くと、2次の係数が0であることから残る根も直ちに決まる。

(1)
法線の方向ベクトルとして $(t,-1)$ と垂直な $(1,t)$ を用いると、
法線上の点 $(x,y)$ は$$(x,y)=(t,{\displaystyle \frac{t^2}{2}}-1)+\lambda (t,-1)$$と表せる。この直線が $P(p,q)$ を通る条件から $\lambda$ を消去すると$$t^3-2qt-2p=0$$を得る。この式は $t=0$ の場合も含む。

(2)
$q=3\mathrm{/}2$ では$$t^3-3t-2p=0.$$$h(t)=t^3-3t$ は $t=-1$ で極大値2、$t=1$ で極小値
$-2$ を取る。したがって異なる実数解の個数、すなわち法線の本数は$$\{\begin{array}{ll}3\text{本}& (-1<p<1),\\ 2\text{本}& (p=\pm 1),\\ 1\text{本}& (p<-1\text{ または }p>1)\end{array}$$である。

(3)
異なる法線がちょうど2本なら、3次式は重解 $\alpha$ と別の実根
$\beta$ をもち$$t^3-2qt-2p=(t-\alpha {)}^2(t-\beta )$$と書ける。左辺の $t^2$ の係数が0だから $\beta =-2\alpha$ である。
よって$$(t-\alpha {)}^2(t+2\alpha )=t^3-3{\alpha }^{2}t+2{\alpha }^3\mathrm{.}$$係数比較により$$q={\displaystyle \frac{3}{2}}{\alpha }^2,p=-{\alpha }^3\mathrm{.}$$$\alpha =0$ では3重解になり法線は1本だけなので $\alpha \mathrm{\ne }0$、
したがって $q>0$ である。消去すると$$8q^3=27p^2\mathrm{.}$$逆にこの2条件のもとでは $\alpha \mathrm{\ne }0$ を取れて上の因数分解が成立し、
$\alpha$ と $-2\alpha$ は異なる。ゆえに必要十分条件は$$q>0,8q^3=27p^2$$である。