東北大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1) $x\leqq a$ では $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }=a-x$ なので $f(x)=x^2{e}^{x-a}$ である。したがって $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x{e}^{x-a}+x^2{e}^{x-a}=e^{x-a}x(x+2)$$ である。よって $x<a$ 側では $x=-2,0$ が増減の境目になる。

一方，$x\geqq a$ では $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }=x-a$ なので $f(x)=x^2{e}^{a-x}$ であり，$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x{e}^{a-x}-x^2{e}^{a-x}=e^{a-x}x(2-x)$$ である。$a>2$ なので，$x>a$ では常に $x>2$ であり，$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ である。

増減をまとめると，$(-\mathrm{\infty },-2)$ で増加，$(-2,0)$ で減少，$(0,a)$ で増加，$(a,\mathrm{\infty })$ で減少する。したがって $$x=-2,x=0,x=a$$ で極値をとる。値は $$f(-2)=4e^{-a-2},f(0)=0,f(a)=a^2$$ である。左右の増減より，$x=-2$ と $x=a$ で極大，$x=0$ で極小である。したがって $\text{極大値 }4e^{-a-2},a^2,\text{極小値 }0$ である。

(2) 積分区間は $-a\leqq x\leqq a$ であり，この範囲では常に $x\leqq a$ である。したがって $f(x)=x^2{e}^{x-a}$ を用いればよい。求める量は$${\displaystyle \frac{1}{a^2}}{\int }_{-a}^a{x}^2{e}^{x-a}dx={\displaystyle \frac{e^{-a}}{a^2}}{\int }_{-a}^a{x}^2{e}^{x}dx$$である。

部分積分を2回行うと$$\int x^2{e}^{x}dx=e^x(x^2-2x+2)$$である。よって$${\displaystyle \frac{e^{-a}}{a^2}}{\int }_{-a}^a{x}^2{e}^{x}dx={\displaystyle \frac{e^{-a}}{a^2}}{[e^x(x^2-2x+2)]}_{-a}^a$$ $$={\displaystyle \frac{e^{-a}}{a^2}}\{e^a(a^2-2a+2)-e^{-a}(a^2+2a+2)\}$$ $$={\displaystyle \frac{a^2-2a+2}{a^2}}-e^{-2a}{\displaystyle \frac{a^2+2a+2}{a^2}}$$ である。ここで$${\displaystyle \frac{a^2-2a+2}{a^2}}\to 1,e^{-2a}{\displaystyle \frac{a^2+2a+2}{a^2}}\to 0(a\to +\mathrm{\infty })$$だから$$\underset{a\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{a^2}}{\int }_{-a}^{a}f(x)dx=1$$である。

絶対値で接続された指数曲線

極値は左右の対数微分で符号だけを簡潔に調べる。極限は $u=a-x$ により積分区間を移し、指数減衰する標準的な3つの積分へ分解して求める。

(1)
$x<a,x\mathrm{\ne }0$ では$${\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{f(x)}}={\displaystyle \frac{2}{x}}+1,$$$x>a$ では$${\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{f(x)}}={\displaystyle \frac{2}{x}}-1.$$$a>2$ を考慮すると、増減は$$\begin{array}{cccccc}x& -\mathrm{\infty }& -2& 0& a& +\mathrm{\infty }\\ f& \nearrow & \searrow & \nearrow & \searrow \end{array}$$となる。したがって極大値は$$4e^{-a-2}(x=-2),a^2(x=a),$$極小値は $0(x=0)$ である。

(2)
積分区間では $x\leqq a$ なので $f(x)=x^2{e}^{x-a}$ である。
$u=a-x$ とおくと$${\displaystyle \frac{1}{a^2}}{\int }_{-a}^{a}f(x)dx={\int }_0^{2a}{(1-{\displaystyle \frac{u}{a}})}^2{e}^{-u}du\mathrm{.}$$右辺を展開して$$A_0-{\displaystyle \frac{2}{a}}{A}_1+{\displaystyle \frac{1}{a^2}}{A}_2$$と書く。ただし$$A_k={\int }_0^{2a}{u}^k{e}^{-u}du(k=0,1,2)$$である。部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A_0}& {\displaystyle =1-e^{-2a},}\\ {\displaystyle A_1}& {\displaystyle =1-(2a+1)e^{-2a},}\\ {\displaystyle A_2}& {\displaystyle =2-(4a^2+4a+2)e^{-2a}\mathrm{.}}\end{array}$$$a\to +\mathrm{\infty }$ で $A_0\to 1,A_1\to 1,A_2\to 2$ だから$$\underset{a\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{a^2}}{\int }_{-a}^{a}f(x)dx=1$$である。