東北大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
$L=x+2y+2z$ とおく。四面体の4頂点での値は$$L(O)=0,L(A)=2,L(B)=L(C)=8.$$平面 $\alpha$ は $L=2k$ であり、切り口が四角形になるのは $O,A$ と $B,C$ が平面の反対側に分かれるときである。したがって$$2<2k<8,$$すなわち$$1<k<4\mathrm{.}$$(2)
辺 $OB,OC,AB,AC$ との交点を順に $P,Q,R,S$ とすると$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle P}& {\displaystyle =(0,k,0),}& {\displaystyle Q}& {\displaystyle =(0,0,k),}\\ {\displaystyle R}& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{8-2k}{3}},{\displaystyle \frac{4(k-1)}{3}},0),}& {\displaystyle S}& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{8-2k}{3}},0,{\displaystyle \frac{4(k-1)}{3}})\mathrm{.}}\end{array}$$$\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{RS}$ はともに
$(0,-1,1)$ に平行なので、切り口 $PRSQ$ は台形である。2つの底辺の長さは$$PQ=k\sqrt{2},RS={\displaystyle \frac{4(k-1)}{3}}\sqrt{2}\mathrm{.}$$$\overrightarrow{PR}$ を底辺方向とそれに垂直な方向へ分けると、台形の高さ $h$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle h^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\overrightarrow{PR}{\mathrm{\mid }}^2-{(\overrightarrow{PR}\cdot {\displaystyle \frac{(0,-1,1)}{\sqrt{2}}})}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(4-k{)}^2}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$$1<k<4$ より$$h={\displaystyle \frac{4-k}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$したがって切り口の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}(PQ+RS)h}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}(k+{\displaystyle \frac{4(k-1)}{3}})(4-k)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(4-k)(7k-4)}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
3つの座標平面に接する半径 $r$ の球の中心は $(r,r,r)$ である。
面 $ABC$ の方程式は$$2x+y+z=4.$$中心からこの面までの距離が $r$ 以上である条件は$${\displaystyle \frac{4-4r}{\sqrt{6}}}\geqq r,$$したがって$$r\leqq {\displaystyle \frac{4}{4+\sqrt{6}}}\mathrm{.}$$また、中心から切断面$$x+2y+2z=2k$$までの距離が $r$ 以上である条件は$${\displaystyle \frac{2k-5r}{3}}\geqq r,$$したがって$$r\leqq {\displaystyle \frac{k}{4}}\mathrm{.}$$両方の制約を同時に満たす最大半径は$$\min ({\displaystyle \frac{k}{4}},{\displaystyle \frac{4}{4+\sqrt{6}}})\mathrm{.}$$すなわち$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{k}{4}}& (1<k\leqq {\displaystyle \frac{16}{4+\sqrt{6}}}),\\ {\displaystyle \frac{4}{4+\sqrt{6}}}& ({\displaystyle \frac{16}{4+\sqrt{6}}}\leqq k<4)\mathrm{.}\end{array}$$

切り口を $yz$ 平面へ正射影する。投影図は2本の直線 $y+z=k$、$y+z=4(k-1)\mathrm{/}3$ に挟まれた台形になり、面積の投影倍率を平面の法線から求める。

(1)
頂点 $O,A,B,C$ における $x+2y+2z$ の値は$$0,2,8,8$$である。切り口が四角形になる条件は$$2<2k<8,$$したがって$$1<k<4\mathrm{.}$$(2)
切り口の4頂点を $P\in OB$、$Q\in OC$、
$R\in AB$、$S\in AC$ とすると$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle P}& {\displaystyle =(0,k,0),}& {\displaystyle Q}& {\displaystyle =(0,0,k),}\\ {\displaystyle R}& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{8-2k}{3}},{\displaystyle \frac{4(k-1)}{3}},0),}& {\displaystyle S}& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{8-2k}{3}},0,{\displaystyle \frac{4(k-1)}{3}})\mathrm{.}}\end{array}$$$yz$ 平面への正射影では、$PQ$ は $y+z=k$ 上、
$RS$ は$$y+z={\displaystyle \frac{4(k-1)}{3}}$$上に移る。よって投影された面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\{k^2-{\left({\displaystyle \frac{4(k-1)}{3}}\right)}^2\}\mathrm{.}$$平面 $\alpha$ の法線ベクトルは $(1,2,2)$、$yz$ 平面の法線は $(1,0,0)$ である。法線間の角を $\theta$ とすると$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{(1,2,2)\cdot (1,0,0)}{3\cdot 1}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$正射影の面積は元の面積の $1\mathrm{/}3$ だから、切り口の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 3\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\{k^2-{\displaystyle \frac{16(k-1{)}^2}{9}}\}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(4-k)(7k-4)}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
3座標平面に接する半径 $r$ の球の中心は $(r,r,r)$ である。面 $ABC:2x+y+z=4$ の内側に収まる条件は$${\displaystyle \frac{4-4r}{\sqrt{6}}}\geqq r,$$すなわち$$r\leqq {\displaystyle \frac{4}{4+\sqrt{6}}}\mathrm{.}$$また切断面 $\alpha$ の $O$ 側に収まる条件は$${\displaystyle \frac{2k-5r}{3}}\geqq r,$$すなわち $r\leqq k\mathrm{/}4$ である。よって最大半径は$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{k}{4}}& (1<k\leqq {\displaystyle \frac{16}{4+\sqrt{6}}}),\\ {\displaystyle \frac{4}{4+\sqrt{6}}}& ({\displaystyle \frac{16}{4+\sqrt{6}}}\leqq k<4)\mathrm{.}\end{array}$$