東北大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

(1) $C$は$OA$を$3:1$に内分するので $$\overrightarrow{OC}={\displaystyle \frac{3}{4}}\vec{a}$$ である。また$D$は$OB$を$4:1$に内分するので $$\overrightarrow{OD}={\displaystyle \frac{4}{5}}\vec{b}$$ である。

点$P$は$BC$上にあるから、ある実数$s$を用いて$$\overrightarrow{OP}=(1-s)\vec{b}+s\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}\vec{a}={\displaystyle \frac{3s}{4}}\vec{a}+(1-s)\vec{b}$$と表せる。一方、$P$は$AD$上にもあるので、ある実数$t$を用いて$$\overrightarrow{OP}=(1-t)\vec{a}+t\cdot {\displaystyle \frac{4}{5}}\vec{b}=(1-t)\vec{a}+{\displaystyle \frac{4t}{5}}\vec{b}$$と表せる。

係数を比較すると $${\displaystyle \frac{3s}{4}}=1-t,1-s={\displaystyle \frac{4t}{5}}$$ である。第2式から$t={\displaystyle \frac{5}{4}}(1-s)$であり、これを第1式に代入すると $${\displaystyle \frac{3s}{4}}=1-{\displaystyle \frac{5}{4}}(1-s)={\displaystyle \frac{-1+5s}{4}}$$ となる。よって$s={\displaystyle \frac{1}{2}}$である。したがって $$\overrightarrow{OP}={\displaystyle \frac{3}{8}}\vec{a}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\vec{b}$$ である。

(2) $Q$は$OP$上にあるので、ある実数$v$を用いて$$\overrightarrow{OQ}=v({\displaystyle \frac{3}{8}}\vec{a}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\vec{b})={\displaystyle \frac{3v}{8}}\vec{a}+{\displaystyle \frac{v}{2}}\vec{b}$$と表せる。また$Q$は$CD$上にあるので、ある実数$u$を用いて$$\overrightarrow{OQ}=(1-u)\overrightarrow{OC}+u\overrightarrow{OD}={\displaystyle \frac{3}{4}}(1-u)\vec{a}+{\displaystyle \frac{4}{5}}u\vec{b}$$と表せる。

係数を比較すると $${\displaystyle \frac{3v}{8}}={\displaystyle \frac{3}{4}}(1-u),{\displaystyle \frac{v}{2}}={\displaystyle \frac{4}{5}}u$$ である。第1式から$${\displaystyle \frac{v}{2}}=1-u$$であるから、$$1-u={\displaystyle \frac{4}{5}}u$$ を得る。よって $$u={\displaystyle \frac{5}{9}},v={\displaystyle \frac{8}{9}}$$ である。したがって$$\overrightarrow{OQ}={\displaystyle \frac{8}{9}}({\displaystyle \frac{3}{8}}\vec{a}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\vec{b})={\displaystyle \frac{1}{3}}\vec{a}+{\displaystyle \frac{4}{9}}\vec{b}$$である。

三角形を斜交座標で表し、$A=(1,0)$、$B=(0,1)$ とする。各直線を一次方程式で書けば、交点 $P,Q$ は二元連立方程式だけで求められる。

$$\mathit{a}=\overrightarrow{OA}$$、$$\mathit{b}=\overrightarrow{OB}$$ を基底とし、点$$X=x\mathit{a}+y\mathit{b}$$を座標 $(x,y)$ で表す。このとき$$A=(1,0),B=(0,1),C=({\displaystyle \frac{3}{4}},0),D=(0,{\displaystyle \frac{4}{5}})\mathrm{.}$$(1)

直線 $BC$、$AD$ の方程式はそれぞれ$${\displaystyle \frac{4}{3}}x+y=1,x+{\displaystyle \frac{5}{4}}y=1.$$これらを連立すると$$x={\displaystyle \frac{3}{8}},y={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$よって$$\overrightarrow{OP}={\displaystyle \frac{3}{8}}\mathit{a}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathit{b}\mathrm{.}$$(2)

直線 $CD$ は$${\displaystyle \frac{4}{3}}x+{\displaystyle \frac{5}{4}}y=1.$$また $O,P,Q$ は一直線上にあり、$P=(3\mathrm{/}8,1\mathrm{/}2)$ だから$$y={\displaystyle \frac{4}{3}}x\mathrm{.}$$両式を連立して$$x={\displaystyle \frac{1}{3}},y={\displaystyle \frac{4}{9}}\mathrm{.}$$したがって$$\overrightarrow{OQ}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathit{a}+{\displaystyle \frac{4}{9}}\mathit{b}\mathrm{.}$$