東北大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$P=(x,y,z)$とする。条件(i)より $y=2x$ である。また $$\overrightarrow{OA}=(-1,1,1),\overrightarrow{AP}=(x+1,y-1,z-1)$$ である。条件(ii)より $-(x+1)+(y-1)+(z-1)=0$ だから $-x+y+z-3=0$ である。ここに$y=2x$を代入すると $z=3-x$ を得る。

したがって $P=(x,2x,3-x)$ と表される。このとき $$A{P}^2=(x+1{)}^2+(2x-1{)}^2+(2-x{)}^2$$ である。展開して平方完成すると $$A{P}^2=6x^2-6x+6=6{(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{9}{2}}$$ である。

よって$A{P}^2$は$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき最小となり、その最小値は${\displaystyle \frac{9}{2}}$である。したがって$AP$の最小値は ${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}$ で、そのとき $$P=({\displaystyle \frac{1}{2}},1,{\displaystyle \frac{5}{2}})$$ である。

2条件の交わりを直線 $P=P_0+t\mathit{v}$ として捉え、点 $A$ からこの直線までの距離を外積公式で求める。垂線の足の媒介変数も内積から出す。

条件から$$y=2x,-x+y+z-3=0,$$したがって$$P=(x,2x,3-x)=P_0+x\mathit{v},P_0=(0,0,3),\mathit{v}=(1,2,-1)\mathrm{.}$$点 $A=(-1,1,1)$ からこの直線までの距離が、求める $AP$ の最小値である。$$\mathit{w}=A-P_0=(-1,1,-2)$$とおくと$$\mathit{w}\times \mathit{v}=(3,-3,-3)\mathrm{.}$$よって距離は$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\mathit{w}\times \mathit{v}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\mathit{v}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$垂線の足は$$x={\displaystyle \frac{\mathit{w}\cdot \mathit{v}}{\mathrm{\mid }\mathit{v}{\mathrm{\mid }}^2}}={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$のときだから$$P=({\displaystyle \frac{1}{2}},1,{\displaystyle \frac{5}{2}})\mathrm{.}$$