東北大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

直線$l$は点$A(1,1,0)$と点$B(-1,-2,1)$を通る。方向ベクトルは $$\overrightarrow{AB}=(-2,-3,1)$$ であるから、$l$上の点$P$は実数$t$を用いて $$P=(1,1,0)+t(-2,-3,1)=(1-2t,1-3t,t)$$ と表せる。

点$(x,y,z)$から$x$軸までの距離は$\sqrt{y^2+z^2}$である。したがって距離の2乗は $(1-3t{)}^2+t^2$ である。平方完成すると $$(1-3t{)}^2+t^2=10{(t-{\displaystyle \frac{3}{10}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{10}}$$ である。よって距離の2乗の最小値は${\displaystyle \frac{1}{10}}$であり、求める最小距離は $$d={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}$$ である。なお、このとき$t={\displaystyle \frac{3}{10}}$であり、対応する点は $$P=({\displaystyle \frac{2}{5}},{\displaystyle \frac{1}{10}},{\displaystyle \frac{3}{10}})$$ である。

直線を $yz$ 平面へ正射影する。射影点は直線 $y+3z=1$ 上を動くので、元の点から $x$ 軸までの最小距離は、原点からこの平面直線までの距離として求められる。

直線 $AB$ 上の点は$$P=(1,1,0)+t(-2,-3,1)=(1-2t,1-3t,t)$$と表される。点 $P$ から $x$ 軸までの距離は$$\sqrt{(1-3t{)}^2+t^2}$$であり、これは $P$ の $yz$ 平面への射影$$(y,z)=(1-3t,t)$$と原点との距離に等しい。

射影点は直線$$y+3z=1$$上を動く。従って原点からこの直線までの距離公式により$$d={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+3^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}\mathrm{.}$$垂線の足は$$(y,z)=({\displaystyle \frac{1}{10}},{\displaystyle \frac{3}{10}})$$であり、$t=3\mathrm{/}10$ に対応する。よってこの最小値は実際に達成される。