東北大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

$$A={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\int }_0^{\pi }f(t)\cos tdt,B={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\int }_0^{\pi }f(t)\sin tdt$$とおく。加法定理より $$\cos (x-t)=\cos x\cos t+\sin x\sin t$$ であるから、与えられた式は $$f(x)=\sin x+A\cos x+B\sin x$$ すなわち $$f(x)=A\cos x+(1+B)\sin x$$ と書ける。

この式を $A,B$ の定義に代入する。まず$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\int }_0^{\pi }\{A\cos t+(1+B)\sin t\}\cos tdt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{\pi }}(A{\int }_0^{\pi }{\cos }^{2}tdt+(1+B){\int }_0^{\pi }\sin t\cos tdt)\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $${\int }_0^{\pi }{\cos }^{2}tdt={\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\int }_0^{\pi }\sin t\cos tdt=0$$ だから $$A={\displaystyle \frac{A}{2}}$$ である。よって $A=0$ である。

同様に$$\begin{array}{rl}{\displaystyle B}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\int }_0^{\pi }\{A\cos t+(1+B)\sin t\}\sin tdt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{\pi }}(A{\int }_0^{\pi }\sin t\cos tdt+(1+B){\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}tdt)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1+B}{2}}}\end{array}$$である。したがって $B=1$ となる。

以上より $f(x)=2\sin x$ である。実際、この $f(x)$ を元の式に代入すると条件を満たすので、求める関数は $f(x)=2\sin x$ である。

積分部分を $I(x)$ と置いて2回微分し、$I^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=-I$ を利用する。これにより $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=-f$ が得られるので、$f=A\cos x+B\sin x$ と表し、元の式から係数を決める。

$$I(x)={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\int }_0^{\pi }f(t)\cos (x-t)dt$$とおく。$f$ は連続なので $I$ は2回微分でき、$$I^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-I(x)$$である。与式 $f(x)=\sin x+I(x)$ を2回微分すると$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\sin x-I(x)=-f(x)\mathrm{.}$$したがって$$f(x)=A\cos x+B\sin x$$と書ける。

元の式で $x=0$ とおくと$$A=f(0)={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\int }_0^{\pi }f(t)\cos tdt\mathrm{.}$$右辺へ $f(t)=A\cos t+B\sin t$ を代入すると$$A={\displaystyle \frac{A}{2}},$$よって $A=0$ である。

次に与式を1回微分し $x=0$ とおくと$$B=f^{\mathrm{\prime }}(0)=1+{\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\int }_0^{\pi }f(t)\sin tdt\mathrm{.}$$$A=0$ と $f(t)=B\sin t$ を用いると$$B=1+{\displaystyle \frac{B}{2}}\mathrm{.}$$したがって $B=2$ である。よって$$f(x)=2\sin x\mathrm{.}$$代入すれば、すべての実数 $x$ で元の式を満たすことも確認できる。