東北大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 確率・指数・対数文系数学 第4問a

1回の試行で5以上の目が出ない確率は ${\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ である。したがって、$n$回投げても5以上の目が1回も出ない確率は ${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n$ である。

条件は $1-{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n\geqq 0.9995$ であり、これは $${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n\leqq 0.0005={\displaystyle \frac{1}{2000}}$$ と同値である。逆数をとって ${\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^n\geqq 2000$ とし、常用対数をとると $$n{\log }_{10}{\displaystyle \frac{3}{2}}\geqq {\log }_{10}2000$$ である。

与えられた値から $${\log }_{10}{\displaystyle \frac{3}{2}}=0.4771-0.3010=0.1761$$ また $${\log }_{10}2000={\log }_{10}(2\cdot {10}^3)=0.3010+3=3.3010$$ である。よって $$n\geqq {\displaystyle \frac{3.3010}{0.1761}}$$ である。ここで $$0.1761\cdot 18=3.1698<3.3010,0.1761\cdot 19=3.3459>3.3010$$ だから、条件を満たす最小の整数は $19$ である。

終了しない余事象の確率を $(2\mathrm{/}3{)}^n$ とし、常用対数で $n$ の境界を求める。18回と19回を対数値で直接比較して最小性まで確認する。

1回で5以上が出ない確率は $2\mathrm{/}3$ だから、少なくとも1回出る確率は$$1-{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n\mathrm{.}$$条件は$${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n\leqq {\displaystyle \frac{1}{2000}}⟺n{\log }_{10}{\displaystyle \frac{3}{2}}\geqq {\log }_{10}2000.$$与えられた値から$${\log }_{10}{\displaystyle \frac{3}{2}}=0.1761,{\log }_{10}2000=\mathrm{3.3010.}$$さらに$$18\cdot 0.1761=3.1698<3.3010<3.3459=19\cdot \mathrm{0.1761.}$$したがって18回では不足し、19回で初めて条件を満たす。答えは$$n=19.$$