東北大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(i) $C_1:y=e^x$ の $x=s$ における接線は $$y=e^s(x-s)+e^s=e^{s}x+e^s(1-s)$$ である。また $C_2:y=e^{ax}$ の $x=t$ における接線は $$y=a{e}^{at}(x-t)+e^{at}=a{e}^{at}x+e^{at}(1-at)$$ である。これらが同じ直線であるから、傾きと切片を比較して $$e^s=a{e}^{at},e^s(1-s)=e^{at}(1-at)$$ を得る。

第1式より $e^s\mathrm{/}{e}^{at}=a$ なので $s-at=\log a$ である。また第2式を第1式で割ると $$1-s={\displaystyle \frac{1-at}{a}}$$ となり、$s-t=1-{\displaystyle \frac{1}{a}}$ を得る。これらを連立して解くと $$s=1-{\displaystyle \frac{\log a}{a-1}},t={\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{\log a}{a-1}}$$ である。

(ii) $a=2$ のとき $$s=1-\log 2,t={\displaystyle \frac{1}{2}}-\log 2$$ である。共通接線は、傾きが $e^s=e\mathrm{/}2$ であり、切片が $e^s(1-s)=(e\mathrm{/}2)\log 2$ だから $$y={\displaystyle \frac{e}{2}}(x+\log 2)$$ である。

2曲線 $y=e^x$ と $y=e^{2x}$ は $x=0$ で交わる。したがって、囲まれた図形の面積 $S$ は$$S={\int }_t^0\{e^{2x}-{\displaystyle \frac{e}{2}}(x+\log 2)\}dx+{\int }_0^s\{e^x-{\displaystyle \frac{e}{2}}(x+\log 2)\}dx$$である。ここで $$t={\displaystyle \frac{1}{2}}-\log 2,s=1-\log 2$$ を代入して計算すると、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{2x}-{\displaystyle \frac{e}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{e}{2}}(\log 2)x]}_t^0+{[e^x-{\displaystyle \frac{e}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{e}{2}}(\log 2)x]}_0^s}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3e}{16}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって求める面積は ${\displaystyle \frac{3e}{16}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

共通接線の傾きを $m$ と置く。指数関数では接点を傾きから逆算できるので、2曲線の接線の切片を $m$ だけで表し、一致条件を解く。

共通接線の傾きを $m>0$ とする。$y=e^x$ では導関数も $e^x$ なので、接点の $x$ 座標は$$s=\log m\mathrm{.}$$その接線の切片は $m(1-\log m)$ である。

一方、$y=e^{ax}$ では$$a{e}^{at}=m$$だから$$t={\displaystyle \frac{1}{a}}\log {\displaystyle \frac{m}{a}}\mathrm{.}$$接線の切片は$${\displaystyle \frac{m}{a}}-mt={\displaystyle \frac{m}{a}}(1-\log {\displaystyle \frac{m}{a}})\mathrm{.}$$2つの切片を等しくすると$$1-\log m={\displaystyle \frac{1}{a}}(1-\log {\displaystyle \frac{m}{a}})\mathrm{.}$$したがって$$\log m=1-{\displaystyle \frac{\log a}{a-1}}\mathrm{.}$$よって$$s=1-{\displaystyle \frac{\log a}{a-1}},t={\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{\log a}{a-1}}\mathrm{.}$$$a=2$ のとき$$s=1-\log 2,t={\displaystyle \frac{1}{2}}-\log 2,$$共通接線は$$l:y={\displaystyle \frac{e}{2}}(x+\log 2)$$である。2曲線は $x=0$ で交わるから、面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S=}& {\displaystyle {\int }_t^0\{e^{2x}-{\displaystyle \frac{e}{2}}(x+\log 2)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_0^s\{e^x-{\displaystyle \frac{e}{2}}(x+\log 2)\}dx\mathrm{.}}\end{array}$$各接点の値 $e^s=e\mathrm{/}2$、$e^{2t}=e\mathrm{/}4$ を用いて整理すると$$S={\displaystyle \frac{3e}{16}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$