東北大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(i) $C_1$ は $x$ 軸に接し、中心の $x$ 座標が $a$ であるから、中心は $(a,r_1)$ である。固定円 $C$ の中心は $(0,1)$、半径は $1$ である。$C_1$ は $C$ と外側で接するので、中心間距離は $1+r_1$ である。したがって $a^2+(r_1-1{)}^2=(r_1+1{)}^2$ である。これを整理すると $a^2=4r_1$ だから $$r_1={\displaystyle \frac{a^2}{4}}$$ である。

(ii)
一般に、$C_n$ の中心を $(x_n,r_n)$ とおく。$C_n$ は $x$ 軸に接し、また固定円 $C$ に接するので、(i) と同じ計算により $x_n^2=4r_n$ である。第1象限側の円を考えているから $$x_n=2\sqrt{r_n}$$ である。

次に、$C_n$ は $C_{n-1}$ と接する。中心間距離が半径の和に等しいので $$(x_{n-1}-x_n{)}^2+(r_{n-1}-r_n{)}^2=(r_{n-1}+r_n{)}^2$$ である。右辺から左辺の高さ方向の差を移項すると $$(x_{n-1}-x_n{)}^2=4r_{n-1}{r}_n$$ となる。図の位置関係より $x_{n-1}>x_n>0$ だから、$$x_{n-1}-x_n=2\sqrt{r_{n-1}{r}_n}\mathrm{.}$$ ここに $$x_j=2\sqrt{r_j}$$ を代入すると $$2\sqrt{r_{n-1}}-2\sqrt{r_n}=2\sqrt{r_{n-1}{r}_n}$$ である。両辺を $2\sqrt{r_{n-1}{r}_n}$ で割って $${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_n}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_{n-1}}}}+1$$ を得る。

(i)より $r_1=a^2\mathrm{/}4$ であるから $${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_1}}}={\displaystyle \frac{2}{a}}$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_n}}}={\displaystyle \frac{2}{a}}+n-1$$ となる。よって $$r_n={\displaystyle \frac{1}{{({\displaystyle \frac{2}{a}}+n-1)}^2}}={\displaystyle \frac{a^2}{\{2+(n-1)a{\}}^2}}$$ である。

共通の直線に接する2円について、中心間の水平距離が $2\sqrt{rs}$ になる補題を使う。固定円との接触で得る $x_n=2\sqrt{r_n}$ と組み合わせ、逆平方根の等差数列として解く。

半径 $r,s$ の2円が同じ直線に接し、互いにも外接しているとする。中心の高さの差は $\mathrm{\mid }r-s\mathrm{\mid }$、中心間距離は $r+s$ だから、中心の水平方向の距離 $d$ は$$d^2=(r+s{)}^2-(r-s{)}^2=4rs,$$すなわち$$d=2\sqrt{rs}$$である。

$C_n$ の中心を $(x_n,r_n)$ とする。固定円 $C$ との接触から$$x_n^2+(1-r_n{)}^2=(1+r_n{)}^2$$なので$$x_n=2\sqrt{r_n}\mathrm{.}$$特に $x_1=a$ より$$r_1={\displaystyle \frac{a^2}{4}}\mathrm{.}$$$C_{n-1}$ と $C_n$ に上の補題を使うと、図の順序より$$x_{n-1}-x_n=2\sqrt{r_{n-1}{r}_n}\mathrm{.}$$$$x_j=2\sqrt{r_j}$$ を代入して正の量で割れば$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_n}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_{n-1}}}}+1.$$よって$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_n}}}={\displaystyle \frac{2}{a}}+n-1.$$したがって$$r_n={\displaystyle \frac{a^2}{\{2+(n-1)a{\}}^2}}\mathrm{.}$$