東北大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

出た目が1,2,3,4,5,6のとき、得点は $1,4,9,16,25,36$ である。3回の試行を順序つきで考えると、全体は $6^3=216$ 通りである。

合計が80点以上になる場合を、6の出る回数で分けて数える。

6が3回出る場合は1通りである。

6がちょうど2回出る場合、残り1回の目を$r$とすると $36+36+r^2\geqq 80$ すなわち $r^2\geqq 8$ である。残りの目は6ではないので、$r=3,4,5$の3通りである。6でない目の位置は3通りあるから、この場合は $3\cdot 3=9$ 通りである。

6がちょうど1回出る場合、残り2回の目を$r,s$とすると $36+r^2+s^2\geqq 80$ より $r^2+s^2\geqq 44$ が必要である。5以下の平方でこれを満たすのは$r=s=5$だけである。6の位置が3通りあるので、この場合は3通りである。

6が1回も出ない場合は最大でも$25+25+25=75$点であり、不可能である。したがって有利な場合は $1+9+3=13$ 通りである。求める確率は ${\displaystyle \frac{13}{216}}$ である。

出目を小さい順に並べた三つ組で分類し、80点以上となる型だけを挙げる。各型の順列数を足して全216通りで割る。

出目を小さい順に並べて $r\leqq s\leqq t$ とする。6がなければ最大でも$$5^2+5^2+5^2=75$$なので不可能である。

6が2個以上の場合、条件を満たす型は$$(3,6,6),(4,6,6),(5,6,6),(6,6,6)\mathrm{.}$$最初の3型は各3順列、最後は1順列なので $10$ 通り。

6が1個の場合は$$r^2+s^2\geqq 44,r,s\leqq 5$$が必要で、型は $(5,5,6)$ だけである。これは3順列。

したがって有利な順序つき出目列は$$10+3=13$$通り。全体は $6^3=216$ 通りだから$${\displaystyle \frac{13}{216}}\mathrm{.}$$