東北大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験 確率文系（後期）数学 第4問a

3回の出目を順序つきで考えると、全体は $6^3=216$ 通りである。ゲームは12段目に達した時点で終了するが、3回分の出目列として数えれば、早く終了した場合は残りの出目を何でもよいものとして扱える。

2回目までの出目を調べ、3回目に終了できるものを数える。2回目までの出目、2回目後の段数、3回目に有利な目の個数は次の通りである。$$\begin{array}{ccc}\text{2回目までの出目}& \text{2回目後の段数}& \text{3回目に有利な目の個数}\\ (1,6),(2,4),(3,6),(4,2),(5,6)& 6& 1\\ (2,6),(4,4),(6,2)& 8& 2\\ (4,6),(6,4)& 10& 3\\ (6,6)& 12& 6\end{array}$$例えば2回目後に6段目にいると、3回目は6を出したときだけ12段目に達する。8段目なら4または6、10段目なら2,4,6で終了する。$(6,6)$では2回目で既に12段目に達しているので、3回目の出目は6通りすべて許される。

したがって有利な出目列の総数は $$5\cdot 1+3\cdot 2+2\cdot 3+1\cdot 6=23$$ である。よって求める確率は ${\displaystyle \frac{23}{216}}$ である。

2回後の段数ごとの経路数だけを集計する。3回目に12段以上へ届く状態では必要な偶数の出目を数え、2回で既に12段へ着いた経路も加える。

3回の出目列は全部で $6^3=216$ 通りである。階段を下りて0段未満になる場合は0段に戻るという規則に従い、2回終了時に3回目で12段へ届き得る段数だけを集計すると$$\begin{array}{ccc}\text{2回後の段数}& \text{そこへ至る出目列の個数}& \text{3回目の成功出目数}\\ 6& 5& 1\\ 8& 3& 2\\ 10& 2& 3\end{array}$$である。対応する出目列は$$\begin{array}{cl}6& (1,6),(2,4),(3,6),(4,2),(5,6)\\ 8& (2,6),(4,4),(6,2)\\ 10& (4,6),(6,4)\end{array}$$となる。

さらに $(6,6)$ の1通りは2回で12段に着くので、3回目の出目によらず成功する。したがって成功する長さ3の出目列は$$5\cdot 1+3\cdot 2+2\cdot 3+1\cdot 6=23$$通りである。求める確率は$${\displaystyle \frac{23}{216}}\mathrm{.}$$