東北大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 数列・方程式・不等式文系数学 第4問b

(1) $\alpha ,\beta$は$x^2+ax+b=0$の解であるから $${\alpha }^2+a\alpha +b=0,{\beta }^2+a\beta +b=0$$ を満たす。これらにそれぞれ${\alpha }^n,{\beta }^n$を掛けると$${\alpha }^{n+2}+a{\alpha }^{n+1}+b{\alpha }^n=0,{\beta }^{n+2}+a{\beta }^{n+1}+b{\beta }^n=0$$である。第1式に$p$、第2式に$q$を掛けて加えれば $x_{n+2}+a{x}_{n+1}+b{x}_n=0$ を得る。

(2)
漸化式は $x_{n+2}-x_{n+1}-x_n=0$ であるから、特性方程式は $r^2-r-1=0$ である。その2解を $$\alpha ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}},\beta ={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$$ とする。(1)より $x_n=p{\alpha }^n+q{\beta }^n$ とおける。

初期条件から $$p+q=2,p\alpha +q\beta =3$$ である。$q=2-p$を第2式に代入して $$p(\alpha -\beta )+2\beta =3$$ を得る。$\alpha -\beta =\sqrt{5}$, $2\beta =1-\sqrt{5}$より $$p={\displaystyle \frac{3-(1-\sqrt{5})}{\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}$$ である。したがって $$q=2-p={\displaystyle \frac{-2+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}$$ となる。よって$$x_n={\displaystyle \frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}{\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)}^n+{\displaystyle \frac{-2+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}{\left({\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)}^n$$である。

(1) は $\alpha ,\beta$ の満たす方程式を線形結合する。(2)は提示された式を $y_n$ と置き、初期値2個と漸化式を満たすことから数列の一意性で証明する。

(1) $${\alpha }^2+a\alpha +b=0,{\beta }^2+a\beta +b=0$$にそれぞれ $p{\alpha }^n,q{\beta }^n$ を掛けて加えると$$p{\alpha }^{n+2}+q{\beta }^{n+2}+a(p{\alpha }^{n+1}+q{\beta }^{n+1})+b(p{\alpha }^n+q{\beta }^n)=0.$$これは$$x_{n+2}+a{x}_{n+1}+b{x}_n=0$$である。

(2) $$\alpha ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}},\beta ={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}},$$$$p={\displaystyle \frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}},q={\displaystyle \frac{-2+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}$$とし、$y_n=p{\alpha }^n+q{\beta }^n$ とおく。$\alpha ,\beta$ は$$r^2-r-1=0$$の解だから、(1)により$$y_{n+2}=y_{n+1}+y_n\mathrm{.}$$また$$y_0=p+q=2,$$$$y_1=p\alpha +q\beta =3.$$したがって $y_n$ と与えられた $x_n$ は同じ初期値と漸化式を持つ。順次一意に定まるので $x_n=y_n$ であり、提示された一般項が成り立つ。