東北大 1998年度文系数学第4問(b)（数列）｜問題・解答・解説

方針

$a_{n + 5} = a_{n}$ から数列は周期5で決まる。さらに $a_{3 n} = a_{n}$ を5で割った余りに注目して使うと，余り $1, 2, 3, 4$ に対応する項がすべて等しいことが分かる。これを $x$ ，余り0の項を $y$ と置き，和と積の条件から $x, y$ を決定する。最後は周期5の和として部分和を表す。

解答

(1) $3$ は5を法として巡回するので $a_{1} = a_{3} = a_{4} = a_{2}$ である。これを $x$ とし、 $a_{5} = y$ とおくと $4 x + y = 4, x^{2} y = 8$ である。これを解くと $x = - 1, y = 8$ である。したがって $a_{1} = - 1, a_{5} = 8$ である。

(2)
数列は周期5で $- 1, - 1, - 1, - 1, 8$ を繰り返す。 $n = 5 q + r (0 ≦ r ≦ 4)$ と書くと、1周期の和は4であり、余りの部分は $- r$ である。よって $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 4 q - r$ である。 $3$ を5で割った余りで掛けていくと $1 \to 3 \to 4 \to 2 \to 1$ と循環する。したがって $a_{1} = a_{3} = a_{4} = a_{2}$ である。この共通値を $x$ ， $a_{5}$ を $y$ とすれば $4 x + y = 4, x^{2} y = 8$ である。 $y = 4 - 4 x$ を代入すると $x^{2} (4 - 4 x) = 8$ すなわち $x^{3} - x^{2} + 2 = 0.$ これは $(x + 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ で，実数解は $x = - 1$ だけである。よって $y = 8$ である。

部分和では，1周期 $- 1, - 1, - 1, - 1, 8$ の和が $4$ である。 $n = 5 q + r (0 ≦ r ≦ 4)$ と書けば，余り部分は $- 1$ が $r$ 個なので $\sum_{j = 1}^{n} a_{j} = 4 q - r$ となる。

別解

解法2

方針

添字条件へ小さいnを順に代入して第1～4項が等しいことを直接示す。周期5を使って2未知数へ落とし、部分和は商と余りで表す。

解答

(1)

$a_{3 n} = a_{n}$ と周期5を組み合わせる。まず $a_{3} = a_{1} .$ また $a_{6} = a_{2}$ である一方、周期5より $a_{6} = a_{1}$ だから $a_{2} = a_{1}$ である。さらに $a_{9} = a_{3}$ であり、周期5より $a_{9} = a_{4}$ だから $a_{4} = a_{1}$ である。 $a_{1} = a_{2} = a_{3} = a_{4} = x, a_{5} = y$ と置くと $4 x + y = 4, x^{2} y = 8.$ $y = 4 - 4 x$ を代入して $(x + 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0.$ 実数解は $x = - 1$ だけなので $y = 8$ である。よって $a_{1} = - 1, a_{5} = 8.$ (2)

数列は $- 1, - 1, - 1, - 1, 8$ を周期5で繰り返す。 $n = 5 q + r (0 ≦ r ≦ 4)$ と書けば、1周期の和は4、余り部分の和は $- r$ だから $\sum_{j = 1}^{n} a_{j} = 4 q - r .$

総評

周期5と添字3倍の条件を，5を法とする余りの循環として読む問題である。所要時間は12分程度。 $1, 2, 3, 4$ 番目が同じ値になり，5番目だけ別値になる構造を最初に見抜くと，あとは二つの未知数だけで処理できる。部分和では $n = 5 q + r$ の余り部分がすべて $- 1$ であることを明記するとよい。

出典: 東北大学 1998年度前期文系第4問(b)。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 数列文系数学 第4問(b)

方針

解答

別解

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解答

総評

東北大学 1998年度前期日程第2次学力試験数列文系数学第4問(b)