東北大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験 数列・指数・対数文系（後期）数学 第4問(b)

(1) $k=2$ のとき、(B)は $$a_2\geqq {\displaystyle \frac{a_1+a_3}{2}}$$ であり、これは(A)そのものである。

次に、ある $k$ について(B)が成り立つと仮定する。すなわち $$a_k\geqq {\displaystyle \frac{a_1+(k-1)a_{k+1}}{k}}$$ である。これを変形すると $$a_1\leqq k{a}_k-(k-1)a_{k+1}$$ である。また(A)を $j=k+1$ に用いると $$a_{k+1}\geqq {\displaystyle \frac{a_k+a_{k+2}}{2}}$$ すなわち $a_k+a_{k+2}\leqq 2a_{k+1}$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_1+k{a}_{k+2}}& {\displaystyle \leqq k{a}_k-(k-1)a_{k+1}+k{a}_{k+2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =k(a_k+a_{k+2})-(k-1)a_{k+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq 2k{a}_{k+1}-(k-1)a_{k+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(k+1)a_{k+1}}\end{array}$$となる。よって $$a_{k+1}\geqq {\displaystyle \frac{a_1+k{a}_{k+2}}{k+1}}$$ であり、$k+1$ について(B)が成り立つ。数学的帰納法により、$2\leqq k\leqq n$ のすべてで(B)が成り立つ。

(2) $b_j=1+(j-1)\mathrm{/}(n(n-1))$ は正の等差数列であり、公差を $d=1\mathrm{/}(n(n-1))$ とおくと $$b_{j-1}=b_j-d,b_{j+1}=b_j+d$$ である。したがって $$b_j^2-b_{j-1}{b}_{j+1}=b_j^2-(b_j-d)(b_j+d)=d^2>0$$ である。よって $$b_j^2\geqq b_{j-1}{b}_{j+1}$$ である。すべての $b_j$ は正なので、底が1より大きい対数 ${\log }_2$ を取ると不等号の向きは変わらず、$$2{\log }_2{b}_j\geqq {\log }_2{b}_{j-1}+{\log }_2{b}_{j+1}$$ となる。$a_j={\log }_2{b}_j$ だから $$a_j\geqq {\displaystyle \frac{a_{j-1}+a_{j+1}}{2}}$$ であり、(A)を満たす。

(3)
(1)(2)より、$k=n$ として $$a_n\geqq {\displaystyle \frac{a_1+(n-1)a_{n+1}}{n}}$$ が成り立つ。ここで $b_1=1$ なので $a_1={\log }_{2}1=0$ である。したがって $n{a}_n\geqq (n-1)a_{n+1}$ である。

また $$b_n=1+{\displaystyle \frac{n-1}{n(n-1)}}=1+{\displaystyle \frac{1}{n}}$$ であり、$$b_{n+1}=1+{\displaystyle \frac{n}{n(n-1)}}=1+{\displaystyle \frac{1}{n-1}}$$ である。ゆえに$$n{\log }_2(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})\geqq (n-1){\log }_2(1+{\displaystyle \frac{1}{n-1}})$$となる。底が1より大きい指数関数に戻せば $${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n\geqq {(1+{\displaystyle \frac{1}{n-1}})}^{n-1}$$ が得られる。

(1) は隣接差が単調減少することから平均の不等式を直接示す。(2)は等差数列の積の差、(3)はk=nへの適用で結ぶ。

(1) $${\mathrm{\Delta }}_j=a_j-a_{j-1}(2\leqq j\leqq n+1)$$と置く。(A)は$${\mathrm{\Delta }}_j\geqq {\mathrm{\Delta }}_{j+1}$$と同値である。したがって$$a_k-a_1=\sum _{j=2}^k{\mathrm{\Delta }}_j\geqq (k-1){\mathrm{\Delta }}_{k+1}=(k-1)(a_{k+1}-a_k)\mathrm{.}$$整理すると$$k{a}_k\geqq a_1+(k-1)a_{k+1},$$すなわち(B)を得る。これは帰納法で示した主解答の内容を、差の単調性としてまとめたものである。

(2)

公差 $d=1\mathrm{/}\{n(n-1)\}$ を用いれば$$b_{j-1}=b_j-d,b_{j+1}=b_j+d\mathrm{.}$$よって$$b_j^2-b_{j-1}{b}_{j+1}=d^2>0.$$正数なので底2の対数を取り、$$2a_j\geqq a_{j-1}+a_{j+1}\mathrm{.}$$(3)

(B)を $k=n$ に使い、$a_1=0$ を代入すると$$n{a}_n\geqq (n-1)a_{n+1}\mathrm{.}$$$$b_n=1+{\displaystyle \frac{1}{n}},b_{n+1}=1+{\displaystyle \frac{1}{n-1}}$$だから$$n{\log }_2(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})\geqq (n-1){\log }_2(1+{\displaystyle \frac{1}{n-1}})\mathrm{.}$$指数へ戻して所望の不等式を得る。