東北大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $b_n=(n+c)a_n$ であり、$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{2n}{2n+3}}{a}_n$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_{n+1}-b_n}& {\displaystyle =(n+1+c)a_{n+1}-(n+c)a_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+1+c){\displaystyle \frac{2n}{2n+3}}{a}_n-(n+c)a_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2n(n+1+c)-(n+c)(2n+3)}{2n+3}}{a}_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{n+3c}{2n+3}}{a}_n\mathrm{.}}\end{array}$$これがすべての $n$ で $p{a}_n$ に等しいためには ${\displaystyle \frac{n+3c}{2n+3}}$ が $n$ によらない定数でなければならない。そこで $n+3c=\lambda (2n+3)$ とおくと、係数比較より $$1=2\lambda ,3c=3\lambda$$ である。したがって $$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{2}},c={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。このとき $$b_{n+1}-b_n=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n$$ だから $$c={\displaystyle \frac{1}{2}},p=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

(2) $$b_n=(n+{\displaystyle \frac{1}{2}})a_n$$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n+{\displaystyle \frac{3}{2}}}{n+{\displaystyle \frac{1}{2}}}}\cdot {\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n+{\displaystyle \frac{3}{2}}}{n+{\displaystyle \frac{1}{2}}}}\cdot {\displaystyle \frac{2n}{2n+3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2n+3}{2n+1}}\cdot {\displaystyle \frac{2n}{2n+3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2n}{2n+1}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3) $b_1=(1+1\mathrm{/}2)a_1=3\mathrm{/}2$ である。また(2)より $${\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}}={\displaystyle \frac{2n}{2n+1}}$$ である。ここで $${\left({\displaystyle \frac{2n}{2n+1}}\right)}^2\leqq {\displaystyle \frac{n}{n+1}}$$ を確認する。両辺は正であり、両辺に $(2n+1{)}^2(n+1)$ を掛けると $$4n^2(n+1)\leqq n(2n+1{)}^2$$ すなわち $4n^3+4n^2\leqq 4n^3+4n^2+n$ となり、これは明らかに成り立つ。したがって $${\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}}\leqq \sqrt{{\displaystyle \frac{n}{n+1}}}$$ である。

これを $1,2,\dots ,n-1$ について掛けると$${\displaystyle \frac{b_n}{b_1}}\leqq \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\cdots \sqrt{{\displaystyle \frac{n-1}{n}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$$である。よって $$b_n\leqq {\displaystyle \frac{3}{2\sqrt{n}}}$$ が成り立つ。

(4)
(1)より $$b_{n+1}-b_n=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n$$ である。したがって $a_n=2(b_n-b_{n+1})$ であり、和をとると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle =a_1+a_2+\cdots +a_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\{(b_1-b_2)+(b_2-b_3)+\cdots +(b_n-b_{n+1})\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(b_1-b_{n+1})\mathrm{.}}\end{array}$$(3)より $$0<b_{n+1}\leqq {\displaystyle \frac{3}{2\sqrt{n+1}}}\to 0$$ であるから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=2b_1=2\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}=3$$である。

まず $b_n$ の比を求め、$n{b}_n^2$ が減少することを直接示す。和は階差を使って望遠和にする。

(1) $$b_{n+1}-b_n=\{{\displaystyle \frac{2n(n+1+c)}{2n+3}}-(n+c)\}{a}_n\mathrm{.}$$分子の $n$ の係数が消える条件から$$c={\displaystyle \frac{1}{2}},p=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(2)$${\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}}={\displaystyle \frac{n+3\mathrm{/}2}{n+1\mathrm{/}2}}{\displaystyle \frac{2n}{2n+3}}={\displaystyle \frac{2n}{2n+1}}\mathrm{.}$$(3)$${\displaystyle \frac{(n+1)b_{n+1}^2}{n{b}_n^2}}={\displaystyle \frac{4n(n+1)}{(2n+1{)}^2}}<1.$$したがって $n{b}_n^2\leqq b_1^2=9\mathrm{/}4$。$b_n>0$ より$$b_n\leqq {\displaystyle \frac{3}{2\sqrt{n}}}\mathrm{.}$$(4)

(1) から $a_n=2(b_n-b_{n+1})$。よって$$S_n=2(b_1-b_{n+1})\mathrm{.}$$(3)より $b_{n+1}\to 0$ なので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=2b_1=3.$$