東北大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

逆数列が初項 $1\mathrm{/}a$、公差 $d$ の等差数列であるから $${\displaystyle \frac{1}{a_n}}={\displaystyle \frac{1}{a}}+(n-1)d$$ である。まず $d\mathrm{\ne }0$ の場合を考える。このとき $${\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}-{\displaystyle \frac{1}{a_n}}=d$$ である。左辺を通分すると $${\displaystyle \frac{a_n-a_{n+1}}{a_n{a}_{n+1}}}=d$$ なので $$a_n{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n-a_{n+1}}{d}}$$ である。したがって部分和は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_1{a}_2+a_2{a}_3+\cdots +a_n{a}_{n+1}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{d}}\{(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+\cdots +(a_n-a_{n+1})\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a_1-a_{n+1}}{d}}}\end{array}$$となる。

ここで $d\mathrm{\ne }0$ なら $${\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}={\displaystyle \frac{1}{a}}+nd$$ の絶対値は $n$ とともに大きくなるので、$a_{n+1}\to 0$ である。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_1{a}_2+a_2{a}_3+\cdots +a_n{a}_{n+1})={\displaystyle \frac{a_1}{d}}={\displaystyle \frac{a}{d}}$$である。

一方 $d=0$ のときは $1\mathrm{/}{a}_n=1\mathrm{/}a$ であり、すべての $n$ について $a_n=a$ である。したがって部分和は $n{a}^2$ となる。$a\mathrm{\ne }0$ だから $n{a}^2\to +\mathrm{\infty }$ であり、有限な極限は存在しない。

$a_n$ を $n$ の有理式として明示し、隣接積を部分分数分解して望ましい形にする。$d=0$ は定数列として発散先まで分ける。

等差数列の条件から$$a_n={\displaystyle \frac{a}{1+(n-1)ad}}\mathrm{.}$$$d\mathrm{\ne }0$ のとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n{a}_{n+1}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2}{\{1+(n-1)ad\}(1+nad)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{d}}\{{\displaystyle \frac{a}{1+(n-1)ad}}-{\displaystyle \frac{a}{1+nad}}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a_n-a_{n+1}}{d}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\sum _{j=1}^n{a}_j{a}_{j+1}={\displaystyle \frac{a_1-a_{n+1}}{d}}\mathrm{.}$$$a_{n+1}\to 0$ なので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{j=1}^n{a}_j{a}_{j+1}={\displaystyle \frac{a}{d}}\mathrm{.}$$$d=0$ のときは $a_n=a$ であり、$a\mathrm{\ne }0$ だから$$\sum _{j=1}^n{a}_j{a}_{j+1}=n{a}^2⟶+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$よって有限値 $a\mathrm{/}d$ は $d\mathrm{\ne }0$ の場合に限る。