東北大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
与えられた等式の両辺を$x$で微分する。左辺は $${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_0^x\{f(t)-t+1\}dt=f(x)-x+1$$ である。右辺は$${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_{-1}^1(x-t{)}^{3}f(t)dt=3{\int }_{-1}^1(x-t{)}^{2}f(t)dt$$である。したがって $$f(x)-x+1=3{\int }_{-1}^1(x-t{)}^{2}f(t)dt$$ を得る。

右辺は $$3{\int }_{-1}^1(x^2-2xt+t^2)f(t)dt$$ であり、$x$について高々2次式である。よって$f(x)-x+1$も高々2次式であり、$f(x)$は$x$の2次式である。

(2) $f(x)=A{x}^2+Bx+C$ とおく。さらに$$I_0={\int }_{-1}^{1}f(t)dt,I_1={\int }_{-1}^{1}tf(t)dt,I_2={\int }_{-1}^1{t}^{2}f(t)dt$$とおく。奇関数の積分が0になることを用いると$$I_0={\displaystyle \frac{2A}{3}}+2C,I_1={\displaystyle \frac{2B}{3}},I_2={\displaystyle \frac{2A}{5}}+{\displaystyle \frac{2C}{3}}$$である。

微分後の等式は $$A{x}^2+Bx+C-x+1=3(x^2{I}_0-2x{I}_1+I_2)$$ である。係数を比較して $$A=3I_0,B-1=-6I_1,C+1=3I_2$$ を得る。これに上の$I_0,I_1,I_2$を代入すると $$A=2A+6C,B-1=-4B,C+1={\displaystyle \frac{6A}{5}}+2C$$ である。したがって $$C=-{\displaystyle \frac{A}{6}},B={\displaystyle \frac{1}{5}},C=1-{\displaystyle \frac{6A}{5}}$$ である。 $$C=-{\displaystyle \frac{A}{6}}$$と$$C=1-{\displaystyle \frac{6A}{5}}$$を合わせると $$-{\displaystyle \frac{A}{6}}=1-{\displaystyle \frac{6A}{5}}$$ であり、これを解いて $$A={\displaystyle \frac{30}{31}},C=-{\displaystyle \frac{5}{31}}$$ を得る。よって $$f(x)={\displaystyle \frac{30}{31}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{5}}x-{\displaystyle \frac{5}{31}}$$ である。

最後に、微分で定数分を失っていないことを確認する。$x=0$を元の等式に代入すると左辺は0である。右辺は$${\int }_{-1}^1(-t{)}^{3}f(t)dt+{\displaystyle \frac{2}{25}}=-{\int }_{-1}^1{t}^{3}f(t)dt+{\displaystyle \frac{2}{25}}$$である。ここで$${\int }_{-1}^1{t}^{3}f(t)dt={\displaystyle \frac{1}{5}}{\int }_{-1}^1{t}^{4}dt={\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{2}{25}}$$なので右辺も0である。したがって元の等式も満たしている。

右辺が $x$ の3次式であることから、左辺の積分を一つの関数と見て $f$ が2次式だと先に確定する。その後、微分後の恒等式へ一般の2次式を代入して係数を決め、元の式の定数項も確認する。

(1) $$F(x)={\int }_0^x\{f(t)-t+1\}dt$$とおく。与式の右辺を $x$ について展開すれば3次式なので、$F(x)$ は3次以下の多項式である。従って$$f(x)=F^{\mathrm{\prime }}(x)+x-1$$は2次以下の多項式である。

(2) $$f(x)=A{x}^2+Bx+C$$とおき、$$I_j={\int }_{-1}^1{t}^{j}f(t)dt(j=0,1,2)$$とする。元の式を微分すると$$f(x)-x+1=3{\int }_{-1}^1(x-t{)}^{2}f(t)dt=3I_0{x}^2-6I_{1}x+3I_2\mathrm{.}$$奇関数の対称積分が0であることから$$I_0={\displaystyle \frac{2A}{3}}+2C,I_1={\displaystyle \frac{2B}{3}},I_2={\displaystyle \frac{2A}{5}}+{\displaystyle \frac{2C}{3}}\mathrm{.}$$係数比較すると$$A=3I_0,B-1=-6I_1,C+1=3I_2\mathrm{.}$$すなわち$$A=2A+6C,B-1=-4B,C+1={\displaystyle \frac{6A}{5}}+2C\mathrm{.}$$これを解いて$$A={\displaystyle \frac{30}{31}},B={\displaystyle \frac{1}{5}},C=-{\displaystyle \frac{5}{31}}\mathrm{.}$$従って$$f(x)={\displaystyle \frac{30}{31}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{5}}x-{\displaystyle \frac{5}{31}}\mathrm{.}$$最後に $x=0$ を元の式へ代入する。上の $f$ では$${\int }_{-1}^1{t}^{3}f(t)dt={\displaystyle \frac{1}{5}}{\int }_{-1}^1{t}^{4}dt={\displaystyle \frac{2}{25}},$$従って右辺の定数項も0となり、元の積分方程式を満たす。