東北大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

球の中心を $M=(3,2,1)$ とする。点 $P(-1,6,3)$ について $$P-M=(-4,4,2),\mathrm{\mid }P-M\mathrm{\mid }=6$$ である。

接点を $X=(x,y,z)$ とする。球面上の接線は接点における半径と垂直であるから、直線 $PX$ が球に接する条件は $(P-X)\cdot (X-M)=0$ である。ここで $X$ は球面上にあるので $\mathrm{\mid }X-M\mathrm{\mid }=1$ である。したがって $$(P-M)\cdot (X-M)=\mathrm{\mid }X-M{\mathrm{\mid }}^2=1$$ となる。よって接点全体が含まれる平面 $\alpha$ は $-4(x-3)+4(y-2)+2(z-1)=1$ である。整理すると $4x-4y-2z-1=0$ である。

円 $C$ の中心 $A$ は、球の中心 $M$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足である。平面条件は $(P-M)\cdot (X-M)=1$ であり、$\mathrm{\mid }P-M{\mathrm{\mid }}^2=36$ だから、$M$ から $P-M$ 方向に $1\mathrm{/}36$ だけ進めばよい。したがって$$A=M+{\displaystyle \frac{1}{36}}(P-M)=({\displaystyle \frac{26}{9}},{\displaystyle \frac{19}{9}},{\displaystyle \frac{19}{18}})\mathrm{.}$$また、$M$ から平面 $\alpha$ までの距離は $${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }P-M\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$$ である。球の半径は $1$ なので、切り口の円の半径 $r$ は $$r=\sqrt{1^2-{\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{6}}$$ である。

接点 $X$ を1つ取り、直角三角形 $MPX$ の相似を使う。接点円の中心 $A$ は $PM$ と接点平面の交点なので、$MA$ と円の半径を平面幾何だけで決め、その後に座標へ戻す。

球の中心を $M=(3,2,1)$、接点を $X$ とする。$$MP=6,MX=1,MX\perp PX$$である。接点全体の円の中心 $A$ は直線 $MP$ 上にあり、その平面は $MP$ に垂直である。したがって $AX\perp MP$ である。

直角三角形 $MPX$ における射影の関係、または相似より$$MA\cdot MP=M{X}^2$$だから$$MA={\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{.}$$$$\overrightarrow{MP}=(-4,4,2)$$ で、その長さは6である。よって$$A=M+{\displaystyle \frac{MA}{MP}}\overrightarrow{MP}=M+{\displaystyle \frac{1}{36}}\overrightarrow{MP}=({\displaystyle \frac{26}{9}},{\displaystyle \frac{19}{9}},{\displaystyle \frac{19}{18}})\mathrm{.}$$また、直角三角形 $MAX$ より$$r=AX=\sqrt{M{X}^2-M{A}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{6}}\mathrm{.}$$平面は $A$ を通り、法線ベクトル$$\overrightarrow{MP}=(-4,4,2)$$ をもつ。したがって$$-4(x-{\displaystyle \frac{26}{9}})+4(y-{\displaystyle \frac{19}{9}})+2(z-{\displaystyle \frac{19}{18}})=0,$$すなわち$$4x-4y-2z-1=0\mathrm{.}$$