東北大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
交点は $$x^2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}x+3$$ より $x=-1,2$ である。したがって面積は $${\int }_{-1}^2(-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}x+3-x^2)dx={\displaystyle \frac{27}{4}}$$ である。

(2)
直線$y=x+k$が$S$と交わる条件は、$S$上で$k=y-x$がとる値の範囲に$k$が入ることである。下側の放物線では $y-x=x^2-x$ で、$-1\leqq x\leqq 2$における最小値は$-1\mathrm{/}4$、最大値は2である。上側の放物線では $$y-x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3$$ で、最大値は$x=1\mathrm{/}2$のとき$25\mathrm{/}8$である。よって範囲全体は $$-{\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{25}{8}}$$ である。

詳しい確認を加える。$S$ は二つの曲線に挟まれた閉領域であり，$y-x$ は連続関数であるから，その最大値・最小値は境界上で生じる。下側境界 $y=x^2$ では $$y-x=x^2-x={(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ なので，最小値は $-1\mathrm{/}4$，端点 $x=-1,2$ での値はいずれも $2$ である。上側境界では$$y-x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{25}{8}}$$であり，最大値は $25\mathrm{/}8$ である。したがって $k$ の範囲は下限 $-1\mathrm{/}4$ から上限 $25\mathrm{/}8$ まで連続的にすべて実現する。

(1) は2曲線の差を交点で因数分解して積分する。(2)は傾き1の直線を平行移動し、下側・上側の放物線へ接する限界位置を判別式または頂点から求める。

(1)

二曲線の差は$$-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}x+3-x^2=-{\displaystyle \frac{3}{2}}(x+1)(x-2)$$であり、交点の $x$ 座標は $-1,2$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}(x+1)(x-2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{27}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)

直線 $y=x+k$ を下方から上方へ動かす。最初に領域へ触れるのは下側の放物線 $y=x^2$ へ接するときである。$$x^2=x+k$$が重解を持つ条件から$$1+4k=0,k=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$最後に領域から離れるのは上側の放物線へ接するときである。$$k=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{25}{8}}$$より、その位置は $k=25\mathrm{/}8$ である。領域は連結で境界を含むので、その間の位置はすべて共有点を持つ。したがって$$-{\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{25}{8}}\mathrm{.}$$