東北大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

まず $$g(m+n)={\displaystyle \frac{\log a^{m+n}+\log b^{m+n}}{2}}=g(m)+g(n)$$ である。また相加平均は幾何平均より大きいので $$f(m)>g(m),f(n)>g(n)$$ であり、したがって $$f(m)+f(n)>g(m+n)=g(m)+g(n)$$ である。

さらに $${\displaystyle \frac{a^{m+n}+b^{m+n}}{2}}>{\displaystyle \frac{(a^m+b^m)(a^n+b^n)}{4}}$$ は $$2a^{m+n}+2b^{m+n}>a^{m+n}+a^m{b}^n+a^n{b}^m+b^{m+n}$$ すなわち $$a^{m+n}+b^{m+n}>a^m{b}^n+a^n{b}^m$$ と同値であり、これは $(b^m-a^m)(b^n-a^n)>0$ から成り立つ。よって $$f(m+n)>f(m)+f(n)>g(m+n)=g(m)+g(n)$$ である。

補足すると，対数は増加関数なので，正の数どうしの大小を比較してから対数を取ってよい。特に $${\displaystyle \frac{a^{m+n}+b^{m+n}}{2}}>{\displaystyle \frac{(a^m+b^m)(a^n+b^n)}{4}}$$ を示せば，両辺の常用対数を取って $f(m+n)>f(m)+f(n)$ が従う。差を計算すると $$2(a^{m+n}+b^{m+n})-(a^m+b^m)(a^n+b^n)=(b^m-a^m)(b^n-a^n)>0$$ であり，$0<a<b$ だから確かに正である。等号が成り立つのは $g(m+n)=g(m)+g(n)$ だけで，$f$ を含む二つの不等号は厳密である。

各指数で現れる2数を一度文字に置き、相加平均・相乗平均と積の展開差だけで三つの比較を独立に示す。

$$A=a^m,B=b^m,C=a^n,D=b^n$$ と置く。$0<a<b$ より$$0<A<B,0<C<D\mathrm{.}$$まず$$g(m+n)=g(m)+g(n)$$は対数法則から直ちに分かる。

相加平均と相乗平均より$${\displaystyle \frac{A+B}{2}}>\sqrt{AB},{\displaystyle \frac{C+D}{2}}>\sqrt{CD}\mathrm{.}$$両辺の対数を取り、加えると$$f(m)+f(n)>g(m)+g(n)\mathrm{.}$$また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 2(AC+BD)-(A+B)(C+D)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =AC+BD-AD-BC}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(B-A)(D-C)>0.}\end{array}$$したがって$${\displaystyle \frac{AC+BD}{2}}>{\displaystyle \frac{A+B}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{C+D}{2}},$$両辺の対数を取って$$f(m+n)>f(m)+f(n)\mathrm{.}$$以上より$$f(m+n)>f(m)+f(n)>g(m+n)=g(m)+g(n)\mathrm{.}$$