東北大学 2001年度 後期日程理系（後期）数学 第3問

(1) $2n$ 人を2人ずつの組に分ける。まず全員を一列に並べ、先頭から2人ずつ組にすると考えると $(2n)!$ 通りある。

ただし、各組の中で2人の順序を入れ替えても同じであり、さらに $n$ 個の組の順序を入れ替えても同じ組み合わせ表である。したがって総数は ${\displaystyle \frac{(2n)!}{2^{n}n!}}$ である。

(2)

1日目と同じ試合がちょうど1つだけあるとする。その試合の選び方は $n$ 通りである。

その1試合に出る2人を除くと、残りは $2n-2$ 人、すなわち $2(n-1)$ 人である。この残りの人たちについて、1日目と同じ対戦相手が誰もいない組み合わせ表を作ればよい。その数は定義より $M_{n-1}$ 通りである。

したがって求める数は $n{M}_{n-1}$ である。

(3)

8人、すなわち $n=4$ のとき、全組み合わせ表の数は $${\displaystyle \frac{8!}{2^{4}4!}}=105$$ である。

1日目の4試合を固定しておく。2日目に1日目と同じ試合が全くない組み合わせ表の数を $M_4$ とする。同じ試合の個数で分類する。

まず、同じ試合がちょうど1つある組み合わせ表は、(2)より $4M_3$ 通りである。ここで $M_3$ を求めると、6人の全組み合わせは15通りであり、同じ試合がちょうど1つあるものは $3M_2$ 通り、3試合すべて同じものが1通りである。$M_2=2$ だから $M_3=15-3\cdot 2-1=8$ である。

同じ試合がちょうど2つある場合は、その2試合を選んだ後、残り4人について1日目と違う組み合わせを作るので $${}_4{\mathrm{C}}_2{M}_2=6\cdot 2=12$$ 通りである。同じ試合がちょうど3つということは起こらない。なぜなら3試合が同じなら、残り2人も自動的に1日目と同じ相手になるからである。4試合すべて同じものは1通りである。

したがって $$105=M_4+4M_3+{}_4{\mathrm{C}}_2{M}_2+1$$ より $M_4=105-4\cdot 8-12-1=60$ である。

よって求める確率は $${\displaystyle \frac{60}{105}}={\displaystyle \frac{4}{7}}$$ である。

組分け総数は最小番号の相手を順に選ぶ再帰で数える。
後半は1日目の各試合を「そのまま残す事象」とし、
包除原理で一致試合が0本の組み合わせを直接数える。

(1)

最小番号の選手の相手は $2n-1$ 通りで、残りを同様に組ませる。
したがって総数は$$(2n-1)(2n-3)\cdots 3\cdot 1={\displaystyle \frac{(2n)!}{2^{n}n!}}\mathrm{.}$$(2)

1日目と同じまま残す試合を $n$ 試合から1つ選ぶ。
残る $2(n-1)$ 人は、1日目のどの試合も残さないように組ませるので$$n{M}_{n-1}$$通りである。

(3)

1日目の4試合のうち指定した $k$ 試合を残す組み合わせは$${\displaystyle \frac{(8-2k)!}{2^{4-k}(4-k)!}}$$通りである。包除原理より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle M_4}& {\displaystyle =105-{}_4{\mathrm{C}}_1\cdot 15+{}_4{\mathrm{C}}_2\cdot 3-{}_4{\mathrm{C}}_3+{}_4{\mathrm{C}}_4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =105-60+18-4+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =60.}\end{array}$$全組み合わせは105通りだから、求める確率は$${\displaystyle \frac{60}{105}}={\displaystyle \frac{4}{7}}\mathrm{.}$$