東北大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

10文字のうち、$O$ は3個、$A$ は2個あり、その他の5文字はすべて異なる。したがって全体の場合の数は $${\displaystyle \frac{10!}{3!2!}}=302400$$ である。

(1)
まず $O$ 以外の7文字 $T,H,K,U,A,B,A$ を並べる。$A$ が2個あるので、その並べ方は ${\displaystyle \frac{7!}{2!}}$ 通りである。

この7文字を並べたあと、文字の前後と間には合計8か所のすき間がある。どの2つの $O$ も隣り合わないためには、この8か所から3か所を選び、それぞれに $O$ を1つずつ入れればよい。よって条件を満たす並べ方は ${\displaystyle \frac{7!}{2!}}{}_8{\mathrm{C}}_3$ 通りである。したがって求める確率は$${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{7!}{2!}}{}_8{\mathrm{C}}_3}{{\displaystyle \frac{10!}{3!2!}}}}={\displaystyle \frac{7}{15}}$$である。

(2)
同じ文字が隣り合う可能性があるのは、3個ある $O$ と2個ある $A$ だけである。そこで余事象、すなわち「どの2つの $O$ も隣り合わず、かつ2つの $A$ も隣り合わない」並べ方を数える。

(1) より、どの2つの $O$ も隣り合わない並べ方は $${\displaystyle \frac{7!}{2!}}{}_8{\mathrm{C}}_3=141120$$ 通りである。この中から、$A$ が隣り合っているものを除く。 $AA$ を1つのかたまりと見なすと、$O$ 以外の文字は $AA,T,H,K,U,B$ の6個になる。これらの並べ方は $6!$ 通りであり、その前後と間の7つのすき間から3つを選んで $O$ を入れれば、$O$ は隣り合わない。したがって、$O$ は隣り合わないが $A$ が隣り合う並べ方は $$6!{}_7{\mathrm{C}}_3=25200$$ 通りである。

よって余事象の場合の数は $141120-25200=115920$ である。したがって求める確率は $$1-{\displaystyle \frac{115920}{302400}}={\displaystyle \frac{37}{60}}$$ である。

(2) を同じ文字が隣り合う事象の和として、包含排除で直接数える。

全順列数は$${\displaystyle \frac{10!}{3!2!}}=302400.$$(1)

$O$ 以外の7文字を並べる方法は $7!\mathrm{/}2!$ 通り。その8個のすき間から3個を選ぶので$${\displaystyle \frac{7!}{2!}}{}_8{\mathrm{C}}_3=141120.$$よって確率は$${\displaystyle \frac{141120}{302400}}={\displaystyle \frac{7}{15}}\mathrm{.}$$(2)

$E_O$ を $O$ がどこかで隣り合う事象、$E_A$ を2個の $A$ が隣り合う事象とする。$$\mathrm{\mid }{E}_O\mathrm{\mid }=302400-141120=161280.$$$AA$ を1個の文字とみなせば$$\mathrm{\mid }{E}_A\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{9!}{3!}}=60480.$$$AA$ が隣り合い、かつ $O$ が隣り合わない並べ方は$$6!{}_7{\mathrm{C}}_3=25200$$だから$$\mathrm{\mid }{E}_O\cap E_A\mathrm{\mid }=60480-25200=35280.$$したがって$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{E}_O\cup E_A\mathrm{\mid }}{302400}}={\displaystyle \frac{161280+60480-35280}{302400}}={\displaystyle \frac{37}{60}}\mathrm{.}$$