東北大 2000年度理系（後期）数学第4問｜問題・解答・解説

方針

連は、同じ文字を正の個数のブロックに分け、それらのブロックを交互に並べることに対応する。(1)で正の整数分割の数を確認し、(2)では $a$ の連数 $p$ に対して $b$ の連数が始まりと終わりの文字により $p - 1, p, p + 1$ のどれになるかを整理する。(3)は $a$ の分け方 $_{6} C_{p - 1}$ 、 $b$ の分け方 $_{4} C_{q - 1}$ 、交互に並べる始終端の数を掛ける。

解答

(1) $h$ 個の同じ球を $k$ 個の区別できる箱へ、空箱がないように入れる。各箱に入る個数を $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}$ とすると $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{k} = h, x_{i} ≧ 1$ である。 $h$ 個を横に並べたすき間 $h - 1$ 個のうち、 $k - 1$ 個を仕切りに選べばよい。したがって総数は $_{h - 1} C_{k - 1}$ である。

(2) $a$ の連が $p$ 個であるとする。 $a$ の連と $b$ の連は交互に現れるので、 $b$ の連数を $q$ とすると、始まりと終わりの文字によって $q = p - 1, q = p, q = p + 1$ のいずれかである。ただし $b$ は5個しかないので $1 ≦ q ≦ 5$ でなければならない。よって $1 ≦ p ≦ 6$ について表にすると $\begin{array}{cc} p & q \\ 1 & 1, 2 \\ 2 & 1, 2, 3 \\ 3 & 2, 3, 4 \\ 4 & 3, 4, 5 \\ 5 & 4, 5 \\ 6 & 5 \end{array}$ である。

(3)
全体の順列数は、12箇所のうち $a$ を置く7箇所を選んで $_{12} C_{7} = 792$ 通りである。 $a$ の連が $p$ 個、 $b$ の連が $q$ 個であるとする。 $7$ 個の $a$ を $p$ 個の空でない連に分ける方法は $_{6} C_{p - 1}$ 通り、 $5$ 個の $b$ を $q$ 個の空でない連に分ける方法は $_{4} C_{q - 1}$ 通りである。さらにブロックの並びは、 $p = q$ なら $a$ から始めるか $b$ から始めるかの2通り、 $p = q + 1$ または $q = p + 1$ なら1通りである。

連の総数が $4$ のとき、可能なのは $(p, q) = (2, 2)$ だけである。したがって通り数は $2 \cdot_{6} C_{1}_{4} C_{1} = 2 \cdot 6 \cdot 4 = 48$ である。

連の総数が $7$ のとき、可能なのは $(p, q) = (3, 4), (4, 3)$ である。したがって通り数は $_{6} C_{2}_{4} C_{3} +_{6} C_{3}_{4} C_{2} = 15 \cdot 4 + 20 \cdot 6 = 180$ である。

連の総数が $11$ のとき、可能なのは $(p, q) = (6, 5)$ だけである。したがって通り数は $_{6} C_{5}_{4} C_{4} = 6$ である。

よって求める確率はそれぞれ $\frac{48}{792} = \frac{2}{33}, \frac{180}{792} = \frac{5}{22}, \frac{6}{792} = \frac{1}{132}$ である。

別解

解法2

方針

一方の文字の連を先に作り、その間と両端の隙間へ他方の正の連を配置する。始端・終端の場合分けを隙間選択として数える。

解答

(1)
$h$ 個の球の間の $h - 1$ 個の隙間から $k - 1$ 個を仕切りとして選ぶので $_{h - 1} C_{k - 1} .$ (2)
$a$ の $p$ 個の連を並べると、その間に $p - 1$ 個、両端を含めて計 $p + 1$ 個の隙間がある。
$b$ の連は内部の隙間には必ず入り、両端には0個、1個、2個入ることができる。したがって $q = p - 1, p, p + 1$ であり、 $1 ≦ q ≦ 5$ を課すと $\begin{array}{cc} p & q \\ 1 & 1, 2 \\ 2 & 1, 2, 3 \\ 3 & 2, 3, 4 \\ 4 & 3, 4, 5 \\ 5 & 4, 5 \\ 6 & 5 \end{array}$ となる。

(3)
$a$ を $p$ 個の正の連へ分ける方法は $_{6} C_{p - 1}$ 、 $b$ を $q$ 個へ
分ける方法は $_{4} C_{q - 1}$ である。総連数4では $(p, q) = (2, 2)$ で、両端の
どちらに $a$ を置くか2通りだから $2_{6} C_{1}_{4} C_{1} = 48.$ 総連数7では $(3, 4), (4, 3)$ なので $_{6} C_{2}_{4} C_{3} +_{6} C_{3}_{4} C_{2} = 180.$ 総連数11では $(6, 5)$ なので $_{6} C_{5}_{4} C_{4} = 6.$ 全体は $_{12} C_{7} = 792$ 通りだから、確率は順に $\frac{2}{33}, \frac{5}{22}, \frac{1}{132} .$

総評

難度は10段階中7、計算量は10段階中6。目安は30分。連の個数を直接列で数えるのではなく、各文字を正の長さのブロックに分けてから交互に並べると見通しがよい。(3)では $p = q$ のときだけ始まりの文字が2通りある点が重要で、ここを忘れると連の総数4の場合などが半分になる。 $a$ は7個、 $b$ は5個なので、分割数がそれぞれ $_{6} C_{p - 1}$ 、 $_{4} C_{q - 1}$ になることも丁寧に確認したい。 2つの解法は標準的な答案手順と、構造を使って検算できる別経路に分けた。等号条件、範囲、必要性と十分性を明示し、積分・総和・極限および主要な分数は読みやすい表示形式に統一した。

出典: 東北大学 2000年度後期日程数学第4問。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2000年度 後期日程理系（後期）数学 第4問

方針

解答

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東北大学 2000年度後期日程理系（後期）数学第4問