東北大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

周長が $L$ の正 $n$ 角形の面積は、辺長を $L\mathrm{/}n$、中心から辺までの距離を$${\displaystyle \frac{L}{2n\tan (\pi \mathrm{/}n)}}$$として$${\displaystyle \frac{1}{2}}L\cdot {\displaystyle \frac{L}{2n\tan (\pi \mathrm{/}n)}}={\displaystyle \frac{L^2}{4n\tan (\pi \mathrm{/}n)}}$$である。

$P_{k-1}$ と同じ面積の円の周長は $2\sqrt{\pi a_{k-1}}$ だから$$a_k={\displaystyle \frac{\pi a_{k-1}}{k\tan (\pi \mathrm{/}k)}}(k\geqq 4)\mathrm{.}$$$a_3=1$ より、原文どおりの量は$${\displaystyle \frac{a_{n-1}}{n}}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{\pi }{4\tan (\pi \mathrm{/}4)}}{\displaystyle \frac{\pi }{5\tan (\pi \mathrm{/}5)}}\cdots {\displaystyle \frac{\pi }{(n-1)\tan (\pi \mathrm{/}(n-1))}}$$である。$n=4$ のとき、積に相当する部分は1とする。

(2)

上の漸化式を添字 $n$ で使えば$${\displaystyle \frac{a_{n-1}}{a_n}}={\displaystyle \frac{n}{\pi }}\tan {\displaystyle \frac{\pi }{n}}\mathrm{.}$$したがって求める式は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle n^2({\displaystyle \frac{a_{n-1}}{a_n}}-{\displaystyle \frac{n}{\pi }}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}})}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n^3}{\pi }}(\tan {\displaystyle \frac{\pi }{n}}-\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}})\mathrm{.}}\end{array}$$$x=\pi \mathrm{/}n$ とおくと$${\displaystyle \frac{n^3}{\pi }}(\tan x-\sin x)={\pi }^2{\displaystyle \frac{\tan x-\sin x}{x^3}}\mathrm{.}$$さらに$${\displaystyle \frac{\tan x-\sin x}{x^3}}={\displaystyle \frac{\sin x}{x}}{\displaystyle \frac{1-\cos x}{x^2}}{\displaystyle \frac{1}{\cos x}}⟶{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$よって極限は$${\displaystyle \frac{{\pi }^2}{2}}\mathrm{.}$$

周長と内接円半径から正多角形の面積比を作る。(2)は三角関数の差を基本極限3個の積へ分解する。

(1)

正 $k$ 角形を中心から $k$ 個の二等辺三角形へ分ける。周長を $L$ とすると、1辺は $L\mathrm{/}k$、高さは$${\displaystyle \frac{L\mathrm{/}k}{2\tan (\pi \mathrm{/}k)}}$$だから面積は$${\displaystyle \frac{L^2}{4k\tan (\pi \mathrm{/}k)}}\mathrm{.}$$$P_{k-1}$ と同面積の円の周長は $2\sqrt{\pi a_{k-1}}$ なので$${\displaystyle \frac{a_k}{a_{k-1}}}={\displaystyle \frac{\pi }{k\tan (\pi \mathrm{/}k)}}\mathrm{.}$$したがって原文の量は$${\displaystyle \frac{a_{n-1}}{n}}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{\pi }{4\tan (\pi \mathrm{/}4)}}{\displaystyle \frac{\pi }{5\tan (\pi \mathrm{/}5)}}\cdots {\displaystyle \frac{\pi }{(n-1)\tan (\pi \mathrm{/}(n-1))}}\mathrm{.}$$(2)

同じ比から$${\displaystyle \frac{a_{n-1}}{a_n}}={\displaystyle \frac{n}{\pi }}\tan {\displaystyle \frac{\pi }{n}}\mathrm{.}$$$x=\pi \mathrm{/}n$ と置けば、求める極限は$${\pi }^2\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\tan x-\sin x}{x^3}}\mathrm{.}$$半角公式を用いると$$\tan x-\sin x={\displaystyle \frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}}={\displaystyle \frac{4{\sin }^3(x\mathrm{/}2)\cos (x\mathrm{/}2)}{\cos x}}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\tan x-\sin x}{x^3}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left(\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin (x\mathrm{/}2)}{x\mathrm{/}2}}\right)}^3\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\cos (x\mathrm{/}2)}{\cos x}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって答えは$${\displaystyle \frac{{\pi }^2}{2}}\mathrm{.}$$