東北大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $n=1$では $3^1=3>1=1^2$ で成り立つ。また$n=2$では $3^2=9>4=2^2$ で成り立つ。 $n\geqq 2$として、$3^n>n^2$が成り立つと仮定する。このとき $3^{n+1}=3\cdot 3^n>3n^2$ である。一方、$3n^2-(n+1{)}^2=2n^2-2n-1$ であり、$n\geqq 2$では正である。したがって $3n^2>(n+1{)}^2$ なので $3^{n+1}>(n+1{)}^2$ が成り立つ。よって数学的帰納法により、すべての自然数$n$で$3^n>n^2$である。

(2)
定義より $${\displaystyle \frac{2}{3}}{S}_n=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{2k}{3^{k+1}}}$$ であり、$$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{3^k}}=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{3}{3^{k+1}}}$$ である。したがって$${\displaystyle \frac{2}{3}}{S}_n-\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{3^k}}=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{2k-3}{3^{k+1}}}$$である。

ここで $${\displaystyle \frac{2k-3}{3^{k+1}}}={\displaystyle \frac{k-1}{3^k}}-{\displaystyle \frac{k}{3^{k+1}}}$$ であるから、和を取ると途中の項が消え、$$\sum _{k=1}^n({\displaystyle \frac{k-1}{3^k}}-{\displaystyle \frac{k}{3^{k+1}}})=-{\displaystyle \frac{n}{3^{n+1}}}$$となる。よって $${\displaystyle \frac{2}{3}}{S}_n-\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{3^k}}=-{\displaystyle \frac{n}{3^{n+1}}}$$ である。

(3)
(1)より$3^n>n^2$であるから $$0<{\displaystyle \frac{n}{3^{n+1}}}<{\displaystyle \frac{n}{3n^2}}={\displaystyle \frac{1}{3n}}$$ であり、${\displaystyle \frac{n}{3^{n+1}}}\to 0$ である。また$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{3^k}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。(2)で$n\to \mathrm{\infty }$とすると $${\displaystyle \frac{2}{3}}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}=0$$ である。したがって $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。

不等式は数学的帰納法で証明する。和は問題の恒等式を有限等比級数と組み合わせて厳密な閉形式にし、誤差項が0へ収束することから極限を得る。

(1)

$n=1$ では $3>1$、$n=2$ では $9>4$ である。$n\geqq 2$ で $3^n>n^2$ と仮定すると$$3^{n+1}>3n^2\mathrm{.}$$また$$3n^2-(n+1{)}^2=2n^2-2n-1>0$$だから $3^{n+1}>(n+1{)}^2$。従ってすべての自然数 $n$ で成立する。

(2) $$S_n=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{k}{3^k}}$$に対し$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{2}{3}}{S}_n-\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{3^k}}}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{2k-3}{3^{k+1}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n({\displaystyle \frac{k-1}{3^k}}-{\displaystyle \frac{k}{3^{k+1}}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{n}{3^{n+1}}}\mathrm{.}}\end{array}$$途中の項が相殺するので、示すべき恒等式を得る。

(3)

有限等比級数$$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{3^k}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-{\displaystyle \frac{1}{3^n}})$$を(2)へ代入して整理すると$$S_n={\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{2n+3}{4\cdot 3^n}}\mathrm{.}$$(1)から$$0<{\displaystyle \frac{2n+3}{3^n}}<{\displaystyle \frac{2n+3}{n^2}}⟶0$$なので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$