東北大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験 数列文系（後期）数学 第4問b

最初の3項は $a,ar,a{r}^2$ である。条件(i)より $a(1+r+r^2)=6$ であり、特に$a\mathrm{\ne }0$である。

3つの数を並べ替えて等差数列にできるためには、そのうち1つが他の2つの平均になればよい。

まず$ar$が中央項なら $2ar=a+a{r}^2$ である。$a\mathrm{\ne }0$で割ると $2r=1+r^2$ すなわち$(r-1{)}^2=0$となる。これは$r=1$を与え、条件に反する。

次に$a$が中央項なら $2a=ar+a{r}^2$ である。$a\mathrm{\ne }0$で割ると $r^2+r-2=0$ だから $(r-1)(r+2)=0$ である。$r\mathrm{\ne }1$より$r=-2$であり、和の条件から $a(1-2+4)=6$ なので $a=2$ である。

最後に$a{r}^2$が中央項なら $2a{r}^2=a+ar$ である。$a\mathrm{\ne }0$で割ると $2r^2-r-1=0$ だから $(2r+1)(r-1)=0$ である。$r\mathrm{\ne }1$より$r=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$であり、和の条件から $$a(1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}})=6$$ となるので $a=8$ である。

したがって求める組は $$(a,r)=(2,-2),(a,r)=(8,-{\displaystyle \frac{1}{2}})$$ である。

3数が等差数列である条件を「中央の数の2倍が両端の和」と書く。元の等比数列のどの項が中央になるかを3通り調べ、実数の公比と初項を決定する。

3数 $a,ar,a{r}^2$ のうち、等差数列の中央に来る項を場合分けする。$$\begin{array}{ccc}\text{中央の項}& \text{等差条件}& \text{公比の候補}\\ a& 2a=ar+a{r}^2& r=1,-2\\ ar& 2ar=a+a{r}^2& r=1\\ a{r}^2& 2a{r}^2=a+ar& r=1,-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$ここで $a\mathrm{\ne }0$ であり、条件 $r\mathrm{\ne }1$ から$$r=-2\text{または}r=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$3項の和は順序を変えても変わらないから$$a(1+r+r^2)=6.$$$r=-2$ のときは $1+r+r^2=3$、$r=-1\mathrm{/}2$ のときは $1+r+r^2=3\mathrm{/}4$ なので$$(a,r)=(2,-2),(a,r)=(8,-{\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{.}$$