東北大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $G$ は $\mathrm{△}BCD$ の重心であるから$$\overrightarrow{AG}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{3}}$$である。四面体の4頂点の重心を $O$ とすれば$$\overrightarrow{AO}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{4}}$$であり、この点は直線 $AG$ 上にある。

また、$H$ は $\mathrm{△}ACD$ の重心なので、同じ点 $O$ は直線 $BH$ 上にもある。したがって、問題の交点 $O$ は四面体の重心である。よって$$\overrightarrow{AO}={\displaystyle \frac{1}{4}}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$$である。

(2) $O$ は4頂点の重心であるから、$O$ を基準にした4つの位置ベクトルの和は0である。すなわち$$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO}=\vec{0}$$である。

(3) $O$ を原点とする位置ベクトルで考える。各頂点の位置ベクトルを $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$、点 $P$ の位置ベクトルを $\vec{p}$ とすると、(2)より $$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\vec{0}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle A{P}^2+B{P}^2+C{P}^2+D{P}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\vec{p}-\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{p}-\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{p}-\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{p}-\vec{d}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{d}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{p}\cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4O{P}^2+O{A}^2+O{B}^2+O{C}^2+O{D}^2\mathrm{.}}\end{array}$$正四面体の1辺は2である。正四面体の高さは $$\sqrt{2^2-{\left({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}$$ であり、重心は頂点から底面への中線を $3:1$ に分ける。したがって $$OA=OB=OC=OD={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$$ であるから $$O{A}^2=O{B}^2=O{C}^2=O{D}^2={\displaystyle \frac{3}{2}}$$ である。よって $$A{P}^2+B{P}^2+C{P}^2+D{P}^2=4O{P}^2+6$$ となる。

点 $P$ が面上を動くとき、$OP$ の最小は、$O$ からいずれかの面へ下ろした垂線の足で起こる。その距離は高さの $1\mathrm{/}4$ なので$${({\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}})}^2={\left({\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{6}}$$である。一方、面上で $OP$ が最大となるのは頂点であり、$O{P}^2=O{A}^2={\displaystyle \frac{3}{2}}$ である。

したがって $$4\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}+6\leqq A{P}^2+B{P}^2+C{P}^2+D{P}^2\leqq 4\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}+6$$ より、求める範囲は $${\displaystyle \frac{20}{3}}\leqq A{P}^2+B{P}^2+C{P}^2+D{P}^2\leqq 12$$ である。

正四面体を重心が原点になる対称な4座標で表す。距離平方和は重心まわりの恒等式で処理する。

(1)

4頂点の重心を $O$ とすれば$$\overrightarrow{AO}={\displaystyle \frac{1}{4}}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})\mathrm{.}$$面の重心を結ぶ2本の中線 $AG,BH$ はこの点を通るので、問題の $O$ はこの重心である。

(2)

重心の定義から$$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO}=\mathbf{0}\mathrm{.}$$(3)

$O$ を原点として$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle A}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(1,1,1),}& {\displaystyle B}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(1,-1,-1),}\\ {\displaystyle C}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(-1,1,-1),}& {\displaystyle D}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(-1,-1,1)}\end{array}$$と置ける。各辺長は2で、各頂点までの距離平方は $3\mathrm{/}2$ である。任意の $P$ について$$A{P}^2+B{P}^2+C{P}^2+D{P}^2=4O{P}^2+6.$$面上で $O{P}^2$ の最小は面の中心で $1\mathrm{/}6$、最大は頂点で $3\mathrm{/}2$ である。よって$${\displaystyle \frac{20}{3}}\leqq A{P}^2+B{P}^2+C{P}^2+D{P}^2\leqq 12.$$