東北大学 2000年度 前期日程文系数学 第2問

与えられた式の実部と虚部をそれぞれ $0$ とおくと $$x^2-2x+2ab=0,x+{\displaystyle \frac{b}{2}}-2a=0$$ である。第2式より $b=4a-2x$ であるから、これを第1式に代入して $x^2-2x+2a(4a-2x)=0$ すなわち $8a^2-4ax+x^2-2x=0$ を得る。

ここで $x$ を固定して考えると、これは $a$ についての2次方程式である。実数 $a$ が存在するための必要十分条件は判別式が $0$ 以上であることだから $(-4x{)}^2-4\cdot 8(x^2-2x)\geqq 0$ である。左辺を整理すると $$16x^2-32x^2+64x=16x(4-x)$$ なので $x(4-x)\geqq 0$ となる。したがって $0\leqq x\leqq 4$ である。

逆に、$0\leqq x\leqq 4$ なら上の2次方程式は実数解 $a$ をもち、その $a$ に対して $b=4a-2x$ と定めれば実部・虚部がともに $0$ になる。よって求める範囲は $0\leqq x\leqq 4$ である。

実部・虚部の連立式から $b$ を消去し、残った式を $a$ について平方完成する。非負の平方が指定値を取れる条件を読む。

複素数の実部と虚部をそれぞれ0とおくと$$x^2-2x+2ab=0,x+{\displaystyle \frac{b}{2}}-2a=0$$である。第2式から $b=4a-2x$ であり、第1式へ代入すると$$8a^2-4ax+x^2-2x=0.$$左辺を $a$ について平方完成すれば$$8{(a-{\displaystyle \frac{x}{4}})}^2=2x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}={\displaystyle \frac{x(4-x)}{2}}\mathrm{.}$$左辺は $a$ を動かすと0以上のすべての値を取る。したがって実数 $a$ が存在するための
必要十分条件は$$x(4-x)\geqq 0,$$すなわち$$0\leqq x\leqq 4$$である。この範囲なら上式を満たす $a$ を取り、$b=4a-2x$ と定めれば元の複素数等式を
満たすので、十分性も確認できる。