東北大学 2001年度 前期日程理系数学 第5問

$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$、$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1$ より $$x^2+y^2=1,u^2+v^2=1$$ である。したがって $$y^2=1-x^2,v^2=1-u^2$$ である。さらに $yv<0$ だから $$yv=-\sqrt{(1-x^2)(1-u^2)}$$ である。なお $yv<0$ より $y,v$ は0でないので、$-1<x<1$、$-1<u<1$ である。

条件 $\mathrm{\mid }1+z+w\mathrm{\mid }<1$ を2乗する。左辺は $$\mathrm{\mid }1+z+w{\mathrm{\mid }}^2=(1+x+u{)}^2+(y+v{)}^2$$ であり、これを展開すると $3+2x+2u+2xu+2yv$ である。したがって $3+2x+2u+2xu+2yv<1$ すなわち $(1+x)(1+u)+yv<0$ である。

ここに $$yv=-\sqrt{(1-x^2)(1-u^2)}$$ を代入すると $$(1+x)(1+u)<\sqrt{(1-x^2)(1-u^2)}$$ を得る。$-1<x<1$、$-1<u<1$ より両辺は正であるから、平方しても同値である。よって $$(1+x{)}^2(1+u{)}^2<(1-x^2)(1-u^2)$$ である。右辺を因数分解し、正の $(1+x)(1+u)$ で割ると $(1+x)(1+u)<(1-x)(1-u)$ となる。整理して $x+u<0$ を得る。

逆に $x+u<0$ なら上の変形を逆にたどれるので、もとの条件 $\mathrm{\mid }1+z+w\mathrm{\mid }<1$ が成り立つ。したがって必要十分条件は $x+u<0$ である。

虚部の符号が反対なので
$z=e^{i\alpha },w=e^{-i\beta }$ と置く。
半角公式で絶対値条件を角度の和の条件へ直し、
最後に $x+u$ の符号と結び付ける。

必要なら $z,w$ を入れ替えて$$z=e^{i\alpha },w=e^{-i\beta }(0<\alpha ,\beta <\pi )$$と書ける。このとき $$x=\cos \alpha ,u=\cos \beta$$ である。$$\mathrm{\mid }1+z+w{\mathrm{\mid }}^2<1$$を展開すると$$(1+\cos \alpha )(1+\cos \beta )-\sin \alpha \sin \beta <0.$$半角公式を使えば左辺は$$4\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\cos {\displaystyle \frac{\beta }{2}}\cos {\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}\mathrm{.}$$最初の2因子は正なので、条件は$$\cos {\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}<0$$すなわち $\alpha +\beta >\pi$ と同値である。

一方$$x+u=2\cos {\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}\cos {\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{2}}\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }\alpha -\beta \mathrm{\mid }<\pi$ より第2因子は正である。
したがって $\alpha +\beta >\pi$ は $x+u<0$ と同値であり、
求める必要十分条件は$$x+u<0.$$